Понятие функции комплексного переменного.

Рассмотрим в комплексной плоскости (Z) два множества E и D (не пустые).

Отображение множества на множество называется функцией комплексного переменного (D может принадлежать другой плоскости (W)). Любому Z₀, принадлежащему E, указан каким-то способом одним элемент из D).

Пусть Z = x+i·y, W = u+i·v. Очевидно, что задание функции комплексного переменного эквивалентно следующему: каждой паре (Е здесь принадлежит декартовой плоскости) ставится в соответствие два числа v и u. Следовательно, задание функции комплексного переменного W = f(Z) эквивалентно заданию вещественных функций u = u(x,y), v = v(x,y). При этом мы имеем f(Z) = u(x,y) + i·v(x,y).

Функция u(x,y) называется вещественной частью функции f(Z), а v(x,y) мнимой частью f(Z). Таким образом, Ref(Z) = u(x,y) , Imf(Z) = v(x,y).

Например, для функции W = Z² = (x +i·y)² = x² – y² + 2·i·x·y вещественная часть ReZ² = x² – y², ImZ² = 2·x·y.

Геометрически, как отображение множества на множество .

В теории аналитических функций рассматривают и многозначные функции.

Функция W = f(Z), отображающая множество на множество называется многозначной, если она ставит в соответствие некоторым не одно, а несколько числовых значений .