Поток энергии в волновых процессах
Процесс распространения волны в каком-нибудь направлении в среде сопровождается переносом энергии колебаний в этом направлении. Допустим, что S есть часть фронта плоской волны в некоторый момент t (рис. 5.1). По истечении времени Δt фронт волны переместится на расстояние Δl=сΔt, вследствие чего частицы среды в объеме SΔl приводятся в колебательное движение. Обозначим через W энергию колебания частиц среды, содержащихся в единице объема; допустим, что объем сΔt очень мал и поэтому в пределах этого объема энергия W везде одинакова. Можно утверждать, что за время Δt среда в объеме SΔl через площадку S получила энергию WSΔl. Таким образом, за единицу времени через площадку S прошла энергия
Величина Р есть поток энергии волны (в единицу времени) через площадку S (S ориентируют перпендикулярно к направлению распространения волны). Плотностью потока энергии называют энергию, проходящую в единицу времени через единицу площадки, перпендикулярной к направлению распространения волны:
(5.1)
Так как скорость распространения волны с есть вектор, то и плотность потока энергии есть векторная величина (он называется вектор Умова). Поток энергии измеряется в ваттах, плотность потока — в Вт/м2.
В сферической волне, вызванной точечным источником колебаний, плотность потока энергии убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника колебаний. Для доказательства допустим, что источник колебаний ежесекундно отдает в окружающую среду одну и ту же энергию, равную Е. Эта энергия равномерно распределяется по шаровой поверхности фронта волны S=4πR 2, поэтому через единицу площади этой поверхности в единицу времени приходит энергия I= E/4πR2 т.е. I~1/R2. Это соотношение, так же как и формула (5.1), применимо, если только в среде не происходит превращения энергии колебательного движения в другие виды энергии, например в теплоту.
Найдем формулу для расчета W. Рассмотрим некоторый объем среды, размеры которого настолько малы по сравнению с длиной волны λ, что в пределах этого объема фазы и амплитуды колебаний для всех частиц можно считать одинаковыми. Обозначим массу одной частицы через m, число частиц в единице объема — п. Тогда полная энергия колебаний (сумма кинетической и потенциальной энергии) частиц, содержащихся в единице объема, будет равна:
где ρ=nm — плотность среды; y0 — амплитуда смещения; υ0 = y0ω — амплитуда скорости; ω — угловая частота колебаний частиц среды, - полная энергия гармонического осциллятора. Для сферической волны плотность потока энергии убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра колебаний, поэтому амплитуда колебаний у0 убывает обратно пропорционально первой степени этого расстояния.
Заметим, что, согласно формул (4.5), (4.6) и (3.4), максимумы избыточных давлений и плотностей в волне совпадают не с максимумами смещений у, а с максимумами скоростей частиц среды υ = dy/dt. Поэтому потенциальная энергия сжатых и растянутых участков среды изменяется в фазе с кинетической энергией колеблющихся частиц среды, т. е. вдоль волны оба эти вида энергии (потенциальная и кинетическая) одновременно приобретают наибольшие и наименьшие значения.
При распространении волны в среде происходит поглощение энергии, т. е. превращение механической энергии колебаний в беспорядочное (тепловое) движение частиц среды. Полагая, что в слое толщиной dх количество поглощенной энергии dI на единице площади пропорционально величине I и толщине слоя, получим
dI=-βIdx; .
Величина β называется коэффициентом поглощения энергии волны в данной среде. Так как энергия волны пропорциональна квадрату амплитуды (смещения, скорости, избыточного давления или плотности), то при прохождении слоя среды толщиной х эти амплитуды будут убывать по закону
y0x=y0e-αx; Δp=Δp0e-αx.
Величина α (равная β/2) называется коэффициентом затухания колебаний в среде. Для воздуха и некоторых других газов он пропорционален квадрату частоты колебаний: c2/м; для воды (до ν=106 Гц) c2/м т. е. в 700 раз меньше, чем в воздухе. Например, амплитуда ультразвуковых колебаний с частотой ν=106 Гц уменьшается в e=2.71раза в воздухе на расстоянии 1/α = = 0.05 м, а воде—на расстоянии 33.4 м. Этим объясняется широкое применение звуковых и ультразвуковых волн при исследовании морей, при гидролокации и т. д.
Дата добавления: 2015-06-12; просмотров: 1206;