Интерференция света от двух точечных источников

Рассмотрим интерференцию гармонических волн, испускаемых дву­мя точечными источниками. Уравнение гармонической световой волны, распространяющейся от точечного источника в однородной изотропной среде, имеет вид

E(t, r) = A(r) cos(ωt-kr + a),

где E(t, r) - одна из составляющих вектора напряженности электриче­ского поля; r - расстояние от источника до рассматриваемой точки Р пространства; А(r) - амплитуда волны в данной точке.

Рис. 12.2.Интерференция света от двух точечных источников

Пусть две гармонические волны с одинаковыми частотами и коллинеарными векторами Е ₁ и Е ₂ от источников S₁ и S₂ приходят в некоторую точку пространства Р (рис. 12.2). Эти волны создают в точке Р гармо­нические колебания

Е₁ =A₁ cos(ωt- kr₁ + a₁), E₂ = A₂ cos(ωt - kr₂ + a₂), (12.22)

где r₁ и r₂ - расстояние от источников света до точки Р. Разность фаз этих колебаний будет

φ₂-φ₁ = (2π/λ) (r₁ - r₂) + a₂- a₁ (12.23)

.

Пусть на расстоянии L от источников света расположен экран, на котором наблюдается интерференционная картина (рис. 12.2). Найдем распределение интенсивности света на оси х, параллельной отрезку, ко­торый соединяет источники Si и S₂. Обозначим длину этого отрезка d. Начало отсчета координаты х поместим в точку О, равноудаленную от обоих источников. Из прямоугольных треугольников на рис. 12.2 най­дем, что

r₁²=L² + (x+d/2)² r₂²=L² + (x-d/2)²

При этом

r₁² - r₂² = 2xd

(12.24)

Обычно в интерференционных опытах d << L и x << L. В таких случаях r₁ ~ r₂ ~ L и равенство (12.24) приводит к формуле

r₁ - r₂ = xd/L (12.25)

Используя формулы (12.23) и (12.25), выражению (12.7) можно придать вид

I=I₁ + I₂ +2√ I₁I₂cos(2πxd/(λL)+a₂ –a₁))(12.26)

Это и есть искомая зависимость I = I(x) интенсивности света на экране от координаты х. Найденная зависимость представляет собой периоди­ческую функцию, расстояние между максимумами (или минимумами) которой равно

∆x = λL/d (12.27)

Величина ∆x называется шириной интерференционной полосы.

Интересно отметить, что впервые длины волн для различных участков видимой области спектра были вычислены по формуле (12.27) после того, как в опытах по интерференции света были измерены расстояния ∆x между полосами.