Пересечение поверхности и плоскости

Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой линию, называемую сечением. Точки этой кривой можно рассматривать как точки пересечения линий поверхности с плоскостью или прямых плоскости с поверхностью.

Отсюда следуют два варианта построения сечения:

1) выбираем конечное число линий на поверхности и определяем точки пересечения их с плоскостью;

2) выделяем конечное число прямых на плоскости и строим точки пересечения их с поверхностью.

Заметим, что возможно решение, представляющее собой комбинацию этих вариантов. В любом случае построение сечения сводится к многократному применению алгоритма решения задачи на пересечение линии и поверхности.

Построение сечения существенно упрощается, если плоскость занимает проецирующее положение. Это связано с тем, что проецирующая плоскость характеризуется собирательным свойством. В этом случае одна из проекций сечения находится на следе плоскости, т.е. известна.

В пересечении гранных поверхностей плоскостями получаются многоугольники (рис. 49 а). Их вершины определяются как точки пересечения ребер гранных поверхностей с секущей плоскостью. Секущая плоскость Σ является фронтально-проецирующей, следовательно, все линии, лежащие в этой плоскости, совпадут с фронтальным следом Σ₂ плоскости Σ. Следовательно, фронтальная проекция 1₂2₂3₂ сечения определится при пересечении фронтальных проекций ребер пирамиды со следом Σ(Σ₂). Горизонтальные проекции точек 1(1₁), 2(2₁) и 3(3₁) находим из условия принадлежности точек ребрам пирамиды.

а б

Рис. 49 Построение линии пересечения поверхности с плоскостью

Построение линии пересечения конической поверхности вращения с фронтально-проецирующей плоскостью Σ показано на рис. 49 б. Заданная плоскость Σ пересекает исходную поверхность по эллипсу, фронтальная проекция которого расположена на следе этой плоскости. Горизонтальную проекцию сечения строим по точкам из условия их принадлежности поверхности конуса (см. рис. 49 б).