Проекции силы на ось и плоскость

По правилу параллелограмма разложим эту силу на составляющие силы F_ОХ, F_OY по координатным осям OX и OY. Силы F_OX, F_OY называют компонентами силы Fпо координатным осям OX и OY. Очевидно векторное равенство

F = F_OX + F_OY.

Спроецируем компоненты F_OX, F_OY силы F на координатные оси и получим скалярные величины F_OX, F_OY, которые называют проекциями силы на оси OX и OY.

Компоненты силы и её проекции на координатные оси связаны равенствами: F_OX = i×F_OX; F_OY = j×F_OY.

Проекция силы на ось – скалярная величина, равная взятой со знаком плюс или минус длине отрезка, заключённого между проекциями на ось начала и конца силы.

Из определения следует, что проекции данной силы на любые параллельные оси равны друг другу: F_OX = F_O1X1, F_OY = F_O1Y1, где F_O1X1, F_O1Y1 – проекции силы F на координатные оси системы отсчёта O₁X₁Y₁.

Пусть в пространстве в системе отсчёта OXYZ задана сила F, (рис. 1.26).

Используя правило параллелепипеда, разложим силу F на компоненты F_OX, F_OY, F_OZ. По правилу сложения векторов справедливо равенство

F = F_OX + F_OY + F_OZ.

Компоненты F_OX, F_OY, F_OZ силы F связаны с их проекциями F_OX, F_OY, F_OZ на координатные оси соотношениями: F_OX = i×F_OX; F_OY = j×F_OY; F_OZ = k×F_OZ. Следовательно, справедливо равенство

F = i·F_OX + j·F_OY + k·F_OZ.

Последнее равенство представляет собой формулу разложения силы на составляющие силы по координатным осям.

Проекция силы на координатную ось равна произведению модуля силы на косинус угла, составленного направлениями силы и оси.

F_OX = F×cos(F, i); F_OY = F×cos(F, j); F_OZ = F×cos(F, k).

Модуль силы через её проекции определяют по формуле

.

Направляющие косинусы, используемые для определения направления силы, находят по формулам:

cos(F, i) = F_OX/F; cos(F, j) = F_OY/F; cos(F, k) = F_OZ/F.

Если рассматривается сила, лежащая в плоскости OXY, то применяются формулы:

F = F_OX + F_OY;

;

cos(F, i) = F_OX/F; cos(F, j) = F_OY/F.

При определении проекции силы на ось возможны следующие частные случаи (рис. 1.27).

Анализ частных случаев определения проекции силы на ось позволяет сделать следующие выводы: 1) если сила и ось направлены в одну полуплоскость, то проекция силы на ось положительна; 2) если сила и ось направлены в разные полуплоскости, то проекция силы на ось отрицательна; 3) если сила и ось взаимно перпендикулярны, то проекция силы на ось равна нулю; 4) если сила и ось параллельны, то сила проецируется на ось в натуральную величину с соответствующим знаком.

При решении задач статики рекомендуется вычислять абсолютное значение проекции как произведение модуля силы на косинус острого угла между линией действия силы и осью, определяя знак проекции непосредственно по чертежу.

В инженерной практике принято использовать заданный угол и выражать через него проекции силы на оси (рис. 1.28).

Проекцией силы на плоскость OXY называется вектор F_OXY, заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость (рис. 1.29).

Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только модулем, но и направлением по плоскости OXY. По модулю F_ОXY = F·cos(g), где g – угол между направлением силы F и её проекцией F_OXY,

В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось бывает удобнее найти сначала её проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию силы на плоскость спроецировать на данную ось. Тогда:

F_OX = F_OXY·sin(α) = F·cos(g)·sin(α);

F_OY = F_OXY·cos(α) = F·cos(g)·cos(α);

F_OZ = F·sin(g).