Основная система и сущность метода
Статически неопределимыми называют системы, в которых невозможно определить все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в эле-ментах системы из уравнений статического равновесия. Но термин “лишние связи” является условным, поскольку при их отсутствии прочность и жёст-кость системы значительно снижается. Этот термин означает, что связи лишние только в плане превышения их количества числа независимых уравнений ра-вновесия.
Степень статической неопределимости можно определить как разность между числом искомых усилий и числом независимых уравнений равновесия, которые можно составить для рассматриваемой системы.
Для плоской системы положение жёсткого тела характеризуется тремя независимыми параметрами – двумя координатами и углом поворота, следова-тельно для равновесия на плоскости достаточно наложение трёх внешних свя-зей, что соответствует и трём независимым уравнениям равновесия. Если плос-кая система состоит из Д жёстких тел (дисков), то количество параметров, оп-ределяющих положение этой системы будет равно ЗД. Если они соединены ша-рнирами, то каждый шарнир, соединяющий две части системы, разрешая взаимный поворот, устраняет возможность взаимного смещения, т.е. уменьша-ет количество возможных перемещений системы, накладывая две дополнитель-ные связи. Каждый из опорных стержней устраняет возможность перемещения системы в соответствующем направлении. Тогда степень статической неопре-делимости, определяемую внешними связями можно подсчитать по формуле:
К=ЗД-2Ш-С,
где: Д- число частей системы, каждая из которых может рассматриваться как абсолютно жёсткое тело.
Ш- количество простых шарниров в системе, соединяющих два “диска”.
С- число опорных стержней (связей).
Если К=0, то имеем статически определимую систему, если К<0 – статически неопределимую.
Для расчёта статически неопределимой системы дополнительно к урав-нениям статики необходимо составить К уравнений совместности перемещения в точках системы.
Для заданной системы (рис. 12.1 а)
К=
Следовательно система дважды статически неопределима, имеются две лиш-них связи. Если у заданной системы отбросить две “лишних” связи то образуем основную систему. Основная система статически определима, но при её обра-зовании необходимо обеспечить, что бы она не превратилась в механизм. Эта система может быть эквивалентна исходной, если к ней будут приложены в на-правлении отброшенных связей усилия Х1 и Х2 (рис. 12.1, б) значения которых следует определить из ограничений (совместности перемещений), которые на-кладывали отброшенные связи: т.е. перемещения в гори-
зонтальном направлении правой опорной точки и угол поворота опорного сече-ния правой стойки равны нулю.
Эти усилия рассматрива-ются как основные и дают назва-ние метода расчёта- метод сил. Определив усилия в “лишних связях”, задача оказывается ста-тически определимой. Для опре-деления перемещений следует воспользоваться универсальным методом-методом Мора, полу-чившего название по имени не-меецкого учёного, предложившего его. Рис. 12.1
12.2.Определение перемещений методом Мора
При использовании этого метода (в литературе его называют: методом возможной работы; методом фиктивной нагрузки; методом единичной нагруз-ки) необходимо рассматривать две системы нагрузок, действующих на кон-струкцию. Первая система включает все реальные нагрузки, а вторая система включает только единичную нагрузку, которая действует на конструкцию. Еди-ничная нагрузка представляет собой фиктивную или искусственно введённую нагрузку, которая позволяет определить перемещение конструкции при действии реальных нагрузок. Единичная нагрузка прикладывается в той точке конструкции перемещение которой определяем и действует в направлении ис-комого перемещения. Если определяется линейное перемещение, то прикладывает единичную силу, а если угловое - единицу момента сил.
Действующая на конструкцию единичная нагрузка, которая представляет собой вторую систему нагрузок, вызывает возникновение реакций опор и внут-ренних усилий, которые обозначим через Вместе с единичной наг-рузкой и реакциями опор они образуют систему сил, которая находится в рав-новесии. Если конструкции предать малую возможную деформацию, в качест-ве которой возьмем действительные деформации конструкции, создаваемые пе-
рвой системой нагрузок, то возможная работа внешних сил будет представлять
собой только работу, совершаемую самой единичной нагрузкой. Эта возмож-ная (виртуальная) работа равна произведению единичной нагрузки на переме-щение которое совершает точка её приложения; таким образом:
Авнш=1
Где величина представляет собой искомое перемещение точки конструкции за счёт реальной нагрузки.
Возможная работа внутренних сил представляет собой работу, совершае-мую этими силами () при возможной деформации элементов конс-трукции. Эти деформации выбираем такими же, как и действительные дефор-
мации, возникающие при действии на конструкцию реальных нагрузок. Обоз-начая эти деформации через и (рис. 12.2 при растяжении (а), из-гибе (б), сдвиге(в), кручении (г)), получим следующие выражения для работы внутренних сил:
Ивнт=∫+∫+∫+∫
Рис. 12.2
Приравняв, выражение для работ внешних и внутренних сил получаем:
=∫+∫+∫+∫
Если деформации малые упругие (справедлив закон Гука), а внутренние усилия в первой системе реальных нагрузок обозначить через NF, MF, QF и TF, то деформации элемента можно записать:
Первое из этих выражений даёт удлинения элемента при действии нормальной силы NF, а последующие деформации при изгибе, сдвиге и круче-нии.
В окончательном виде метод Мора имеет вид
Входящий в формулу К- числовой коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения бруса.
Порядок определения перемещений можно кратко изложить следующим образом:
1) разделив конструкцию на участки записываем аналитические выраже-ния для внутренних силовых факторов, на каждом участке, вызванных систе-мой реальных нагрузок- NF, MF, QF, TF;
2) в точке, перемещение которой хотим определить, в направлении иско-мого перемещения приложим единичную нагрузку и определяем внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях, только от этой едини-чной нагрузки (и возникших реакций). При этом необходимо, чтобы правила знаков и направление обхода участков в п.п 1и 2 были бы те же самые.
3) подставить найденные значения в интегралы Мора и выполнить инте-грирование по всей конструкции и просуммировать результаты для получения величины перемещения Если результат получен со знаком “минус”, то это означает, что направление искомого перемещения противоположно направле-нию единичной нагрузки.
Не все члены интегралов Мора могут понадобиться. Так при расчёте ферм только слагаемые, содержащие нормальные силы необходимо учитывать, а для балки или плоской рамы существенными будут только деформации изги-ба и уравнение упрощается:
Такие интегралы можно вычислить для каждого элемента конструкции (участка), а затем просуммировать полученные результаты.
При вычислении интеграла Мора, как правило, рассматриваются такие элементы конструкций в которых жёсткости (EA, EJ, GJр) остаются постоянны-ми. Следовательно их можно вынести из под интегралов, после чего все подин-тегральные члены уравнения имеют форму произведений, скажем:
∫ МFdx.
В 1925 г. студент Московского института железнодорожного транспорта А.Н. Верещагин предложил упрощение вычислений с использованием форму-лы Мора для стержневых систем, состоящих из прямых участков с постоянной (в пределах каждого участка) жёсткостью. Упрощение базируется на том, что эпюры от единичных нагрузок оказываются линейными.
Допустим, на участке длинной l нужно взять интеграл.
J=
при условии, что f2(x)- линей-ная функция.
f2(x)=b+kx.
Тогда:
J=
Первый из интегралов предста-вляет собой площадь, ограни-ченную кривой f1(x) (рис. 12.3 а), которую обозначим Вто-рой интеграл представляет со-бой статический момент этой площади относительно оси y, т.е.
где хс- координата центра тяже-
Рис. 12.3 сти первой эпюры.
Итак, J= Так как b+kxc=f2(xc) (рис. 12.3 б), то
J=
Операция интегрирования заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры под центром тяжести первой.
Встречающиеся на практике эпюры могут быть расслоены на простей-шие фигуры: прямоугольник, треугольник, параболу, для которых величина площади и положение центра тяжести (рис. 12.4) известны.
Рис.12.4
Определение перемещений от симметричного и обратно симметричного воздействия надо вести раздельно, проводя вычисления только для половины
системы. Из свойства её симметрии вытекает важное правило: если при “перем-
ножении” эпюр одна из них симметрична, а другая обратно симметрична, то их “ произведение”(премещение)равно нулю.
Если жёсткость стержня переменная, то эпюру усилий от внешних воз-действий надо привести к одной жёсткости, умножая её ординаты , где Jo- момент инерции одного из сечений.
Дата добавления: 2015-05-28; просмотров: 726;