Основные предпосылки

Брус и стержень моделируют обширный класс конструктивных элементов. Излагая в главе 2 метод сечений применительно к брусу, мы установили для него систему внутренних сил в попе­речном сечении и соответствующие виды деформаций.

Три группы уравнений, содержащиеся в главах 4, 5, по­зволяют в пределах принятых допущений составить представление о напряженно-деформированном состоянии брусьев. Наблюдения и эксперименты создали предпосылки для упрощения их расчета. В числе дополнительных гипотез в первую очередь следует назвать гипотезу плоских сечений – гипотезу Бернулли, впервые выска­занную швейцарским ученым-математиком Я.Бернулли.

Возьмем для большей наглядности процесса деформирования резиновый брус с нанесенным рядом поперечных прямых линий на рис. 7.1, а. Растянув брус, мы увидим, что расстояния между линиями увеличились, но са­ми они, оставаясь прямыми, не изменили поперечного направления (рис. 7.1, б). Остались неразрывными кон­туры обозначенных сечений. Можно предполо-жить также, что и внутри бруса будет такая же картина, т.е. поперечные сече-ния, плоские и нормальные к его оси до

Рис. 7.1 деформации, остаются плос­кими и нор-мальными к оси и после деформации.

Наблюдения показывают отклонения от описанной ситуации на небольших участках бруса вблизи точек приложения сил. В том случае, когда внешние силы равномерно распределены по площади торцов (рис. 7.1, в), гипотеза плоских сечений выполняется стро­го (становится законом плоских сечений).

Гипотеза сохраняет силу при чистом изгибе бруса, когда он нагружен изгибающими моментами по торцам, а также при кручении бруса круглого сечения. В последнем случае сечение, кроме то­го, представляют как жесткое целое (гипотеза плоских и жестких сечений). Гипотеза неприменима для отдельных категорий тонко­стенных стержней при определенных видах деформаций.

Возникает вопрос о влиянии упомянутых отклонений (неплос­ких сечений) на характер напряженного состояния. В связи с этим обратимся к принципу

Сен-Венана, который гласит: в точках тела на некотором расстоянии Н от грузовой площадки, достаточ­но большом по сравнению с ее размерами, напряжения не меняются от замены заданной нагрузки другой, статически эквивалентной (т.е. имеющей ту же равнодействующую в смысле ее величины, на­правления и точки приложения).

Размеры поперечного сечения стержня малы по сравнению с его длиной. Поэтому любую нагрузку на торцах стержня можно за­менить другой статически эквивалентной нагрузкой. Такая замена отразится лишь на напряжениях в небольшой зоне стержня длиной Н, прилегающей к его торцам. Длина зон Н принимается равной наибольшему размеру поперечного сечения.

Следовательно, картина напряжений в случае отклонения от гипотезы плоских сечений (рис. 7.1, б) ощутимо не меняется в ос­новном объеме бруса по сравнению со случаем ее строгого соблю­дения (рис. 7.1, в). Это обстоятельство значительно упрощает ус­тановление закономерностей деформирования брусьев и стержней и расширяет область их применимости.

Отметим, что применительно к брусьям гипотеза плоских се­чений заменяет собой условия совместности деформаций, представляемые уравнениями Сен-Венана.

Еще одна гипотеза принимается для брусьев и стержней, в которых возникают только нормальные напряжения. Предполагает­ся, что волокна не оказывают давления друг на друга, т.е. на­пряжения в направлении, перпендикулярном оси бруса (стержня), равны нулю. Следовательно, каждый слой испытывает одноосное растяжение или сжатие.

В дальнейшем брус будем представлять состоящим из воло­кон, под которыми будем понимать материальные линии со сколь угодно малым поперечным сечением, которое считается недеформи­руемым.