Дифференциальные уравнения равновесия для внутренних усилий в поперечных сечениях стержней

В общем случае нагрузка на стержень может быть задана интенсивностью сил с составляющими , и интенсивностью моментов с составляющими . Возможна также нагрузка, сосредоточенная в отдельных точках. Для бесконечно малой части стержня (рис.2.3) составим дифференциальные уравнения равновесия.

Рис. 2.3

Из условий следуют уравнения:

Из условий получаем:

откуда, пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, находим

Подставляя выражения в соответствующие дифференциальные уравнения, получаем

Интегрируя полученные шесть уравнений, находим выражения для внутренних усилий:

Постоянные интегрирования С_i (i=1,2,...,6) определяются из граничных условий для рассматриваемых внутренних усилий.

Поскольку дифференциальные уравнения выражают равновесие любого бесконечно малого элемента стержня, то удовлетворение им означает выполнение условий равновесия стержня в целом.

Дифференциальные зависимости используются для проверки результатов, полученных с помощью алгебраических уравнений равновесия. Они позволяют, например, по эпюре определить характер эпюры . В частности, на участках, где =0 (=0), т.е. при соблюдении зависимостей

можно установить, что при М_z = const имеем Q_y = 0(при М_y =const имеем Q_z = 0). Переменная величина достигает экстремальных значений в точках, где Q_y = 0(Q_z = 0).

При определении внутренних усилий из уравнений равновесия целесообразно нагрузку на поверхности переносить в соответствующие точки на оси стержня с соблюдением условий статической эквивалентности. Полученная таким образом силовая схема является составной частью так называемой расчетной схемы (системы), когда брус представляется его осью.