Схема проверки нулевой гипотезы .
1. По выборке строят статистический ряд; он может быть как дискретным, так и интервальным. Рассмотрим для определенности интервальный ряд:
… | |||||
… |
2. По данным предыдущих исследований или по предварительным данным делают предположение (выдвигают гипотезу) о модели закона распределения генеральной совокупности .
Для предположения модели закона распределения генеральной совокупности можно использовать графическое представление выборки.
3. Используя выборочные данные, строят оценки параметров выбранной модели закона распределения.
4. Определяют теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы по формуле
, (9.6.1)
где — предполагаемая функция распределения генеральной совокупности .
4. Определяют расчетное значение критерия К. Пирсона по формуле
или
.
5. Выбрав уровень значимости , находят критическую область (она всегда правосторонняя) . Границу критической области можно найти одним из следующих:
§ используя таблицы –распределения с степенями свободы;
§ используя функцию ХИ2ОБР (вероятность;степени_свободы) из EXCEL, при этом аргумент «вероятность» данной функции должен быть равен уровню значимости, а аргумент «степени_свободы» должен быть равен ;
§ используя функцию qchisq(p, d) из MATHCAD, при этом переменные данной функции должны быть равны: .
6. Если расчетное значение попадает в критическую область , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.
Замечание.При применении критерия К. Пирсона в каждом интервале должно быть не менее 5 элементов выборки (т.е. ). Если это условие не выполняется, то число интервалов надо уменьшить путем объединения соседних интервалов.
Пример 5.Получены значения случайной величины .
0,54 | 0,7 | 0,66 | 0,55 | 0,57 | 0,56 | 0,62 | 0,65 | 0,5 | 0,67 |
0,66 | 0,58 | 0,57 | 0,53 | 0,53 | 0,53 | 0,46 | 0,72 | 0,41 | 0,55 |
0,6 | 0,61 | 0,45 | 0,55 | 0,63 | 0,6 | 0,53 | 0,51 | 0,59 | 0,57 |
0,59 | 0,64 | 0,66 | 0,56 | 0,59 | 0,58 | 0,55 | 0,55 | 0,53 | 0,53 |
0,41 | 0,54 | 0,45 | 0,61 | 0,46 | 0,52 | 0,59 | 0,63 | 0,4 | 0,69 |
0,53 | 0,48 | 0,41 | 0,57 | 0,6 | 0,57 | 0,56 | 0,56 | 0,42 | 0,6 |
0,54 | 0,59 | 0,56 | 0,5 | 0,46 | 0,62 | 0,57 | 0,42 | 0,72 | 0,47 |
0,47 | 0,44 | 0,52 | 0,62 | 0,64 | 0,41 | 0,51 | 0,4 | 0,49 | 0,67 |
0,52 | 0,58 | 0,65 | 0,42 | 0,68 | 0,53 | 0,65 | 0,59 | 0,43 | 0,61 |
0,56 | 0,62 | 0,7 | 0,49 | 0,7 | 0,55 | 0,5 | 0,52 | 0,71 | 0,48 |
Необходимо:
1. Найти выборочные характеристики: выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию.
2. Построить доверительной вероятностью 0,95 доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
3. Построить гистограмму.
4. Проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины при уровне значимости .
m Решение.Учитывая, что количество значений равно 100, определяем выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию:
.
.
Замечание.Выборочное среднее можно определить используя функцию СРЗНАЧ(число1; число2; ...) из EXCEL, а исправленную выборочную дисперсию можно определить используя функцию ДИСП(число1;число2; ...) из EXCEL.
Перейдем к построению доверительных интервалов. При построении доверительного интервала для математического ожидания считаем, что при этом дисперсия не известна. Как известно из предыдущей главы, необходимо использовать формулу
,
в которой неизвестна только величина , являющаяся квантилем –распределения с числом степеней свободы. Для доверительной вероятност и найдем квантиль ‑распределения с числом степеней свободы. Для этого используем, например, функцию qt(p, d) из MATHCAD: или функцию СТЬЮДРАСПОБ(вероятность; степени_свободы) из EXCEL: или Приложение 5.
Определяем точность оценки
.
Таким образом, получаем доверительный интервал
.
Построим доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании. В этом случае необходимо использовать формулу
,
где — квантиль уровня –распределения с степенью свободы.
Для данной формулы необходимо вычислить квантили и . Используя функцию qchisq(p, d) из MATHCAD, получим: и . Аналогичный результат можно получить используя функцию ХИ2ОБР (вероятность;степени_свободы) из EXCEL: , .
Таким образом, получаем доверительный интервал
.
Перейдем к построению гистограммы. Построим интервальный ряд. Найдем сначала минимальное и максимальное значения случайной величины (т.е. крайние члены вариационного ряда): и . Для нахождения минимального и максимального значений случайной величины можно использовать функции МИН(число1;число2; ...) и МАКС(число1;число2; ...) из EXCEL. Размах варьирования будет равен .
Возьмем число частичных интервалов . В этом случае длина частичного интервала равна
.
Соответствующий интервальный ряд приведен в таблице 9.2.
Таблица 9.2
Номер интервала | Средний пробег автомобилей (интервалы) | Частота | Относительная частота |
0,4 — 0,44 | 2,5 | ||
0,44 — 0,48 | |||
0,48 — 0,52 | 2,25 | ||
0,52 — 0,56 | 5,25 | ||
0,56 — 0,6 | 5,25 | ||
0,6 — 0,64 | 3,25 | ||
0,64 — 0,68 | 2,5 | ||
0,68 — 0,72 |
Гистограмма приведена на рис 9.4.
Проверим гипотезу о распределении случайной величины . Найдем теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы по формуле , где — функция распределения нормального закона. Так как случайная величина , подчиненная нормальному закону распределения, определена на , то крайние интервалы в ряде распределения следует заменить на и . Тогда
Дальнейшие вычисления удобно оформить в виде таблицы (табл. 9.3).
Таблица 9.3
Номер интервала i | средний пробег автомобилей (интервалы) | Частота | Теоретические частоты | |||
0,4 — 0,44 | 0,0749 | 7,49 | 13,3511 | |||
0,44 — 0,48 | 0,0962 | 9,62 | 6,6528 | |||
0,48 — 0,52 | 0,1517 | 15,17 | 5,3395 | |||
0,52 — 0,56 | 0,1932 | 19,32 | 22,8261 | |||
0,56 — 0,6 | 0,1859 | 18,59 | 23,7224 | |||
0,6 — 0,64 | 0,1466 | 14,66 | 11,5280 | |||
0,64 — 0,68 | 0,0872 | 8,72 | 11,4679 | |||
0,68 — 0,72 | 0,0643 | 6,43 | 9,9533 | |||
Итого | 104,8411 |
Определяем расчетное значение критерия К. Пирсона:
Находим число степеней свободы. По выборке были рассчитаны два параметра, значит, . Количество интервалов 8,т.е. . Следовательно, . Зная, что и , находим границу правосторонней критической области (см. Приложение 4). Таким образом, критической областью является интервал .
Так как расчетное значение критерия К. Пирсона не попадает в критическую область, то нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу о нормальном законе распределения. l
Дата добавления: 2015-05-28; просмотров: 1182;