Схема проверки нулевой гипотезы .

1. По выборке строят статистический ряд; он может быть как дискретным, так и интервальным. Рассмотрим для определенности интервальный ряд:

2. По данным предыдущих исследований или по предварительным данным делают предположение (выдвигают гипотезу) о модели закона распределения генеральной совокупности .

Для предположения модели закона распределения генеральной совокупности можно использовать графическое представление выборки.

3. Используя выборочные данные, строят оценки параметров выбранной модели закона распределения.

4. Определяют теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы по формуле

, (9.6.1)

где — предполагаемая функция распределения генеральной совокупности .

4. Определяют расчетное значение критерия К. Пирсона по формуле

или

.

5. Выбрав уровень значимости , находят критическую область (она всегда правосторонняя) . Границу критической области можно найти одним из следующих:

§ используя таблицы –распределения с степенями свободы;

§ используя функцию ХИ2ОБР (вероятность;степени_свободы) из EXCEL, при этом аргумент «вероятность» данной функции должен быть равен уровню значимости, а аргумент «степени_свободы» должен быть равен ;

§ используя функцию qchisq(p, d) из MATHCAD, при этом переменные данной функции должны быть равны: .

6. Если расчетное значение попадает в критическую область , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.

 

Замечание.При применении критерия К. Пирсона в каждом интервале должно быть не менее 5 элементов выборки (т.е. ). Если это условие не выполняется, то число интервалов надо уменьшить путем объединения соседних интервалов.

 

Пример 5.Получены значения случайной величины .

 

0,54 0,7 0,66 0,55 0,57 0,56 0,62 0,65 0,5 0,67
0,66 0,58 0,57 0,53 0,53 0,53 0,46 0,72 0,41 0,55
0,6 0,61 0,45 0,55 0,63 0,6 0,53 0,51 0,59 0,57
0,59 0,64 0,66 0,56 0,59 0,58 0,55 0,55 0,53 0,53
0,41 0,54 0,45 0,61 0,46 0,52 0,59 0,63 0,4 0,69
0,53 0,48 0,41 0,57 0,6 0,57 0,56 0,56 0,42 0,6
0,54 0,59 0,56 0,5 0,46 0,62 0,57 0,42 0,72 0,47
0,47 0,44 0,52 0,62 0,64 0,41 0,51 0,4 0,49 0,67
0,52 0,58 0,65 0,42 0,68 0,53 0,65 0,59 0,43 0,61
0,56 0,62 0,7 0,49 0,7 0,55 0,5 0,52 0,71 0,48

 

Необходимо:

1. Найти выборочные характеристики: выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию.

2. Построить доверительной вероятностью 0,95 доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.

3. Построить гистограмму.

4. Проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины при уровне значимости .

m Решение.Учитывая, что количество значений равно 100, определяем выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию:

.

.

Замечание.Выборочное среднее можно определить используя функцию СРЗНАЧ(число1; число2; ...) из EXCEL, а исправленную выборочную дисперсию можно определить используя функцию ДИСП(число1;число2; ...) из EXCEL.

Перейдем к построению доверительных интервалов. При построении доверительного интервала для математического ожидания считаем, что при этом дисперсия не известна. Как известно из предыдущей главы, необходимо использовать формулу

,

в которой неизвестна только величина , являющаяся квантилем –распределения с числом степеней свободы. Для доверительной вероятност и найдем квантиль ‑распределения с числом степеней свободы. Для этого используем, например, функцию qt(p, d) из MATHCAD: или функцию СТЬЮДРАСПОБ(вероятность; степени_свободы) из EXCEL: или Приложение 5.

Определяем точность оценки

.

Таким образом, получаем доверительный интервал

.

Построим доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании. В этом случае необходимо использовать формулу

,

где — квантиль уровня –распределения с степенью свободы.

 

Для данной формулы необходимо вычислить квантили и . Используя функцию qchisq(p, d) из MATHCAD, получим: и . Аналогичный результат можно получить используя функцию ХИ2ОБР (вероятность;степени_свободы) из EXCEL: , .

Таким образом, получаем доверительный интервал

.

 

Перейдем к построению гистограммы. Построим интервальный ряд. Найдем сначала минимальное и максимальное значения случайной величины (т.е. крайние члены вариационного ряда): и . Для нахождения минимального и максимального значений случайной величины можно использовать функции МИН(число1;число2; ...) и МАКС(число1;число2; ...) из EXCEL. Размах варьирования будет равен .

Возьмем число частичных интервалов . В этом случае длина частичного интервала равна

.

 

Соответствующий интервальный ряд приведен в таблице 9.2.

Таблица 9.2

Номер интервала Средний пробег автомобилей (интервалы) Частота   Относительная частота
0,4 — 0,44 2,5
0,44 — 0,48
0,48 — 0,52 2,25
0,52 — 0,56 5,25
0,56 — 0,6 5,25
0,6 — 0,64 3,25
0,64 — 0,68 2,5
0,68 — 0,72

 

Гистограмма приведена на рис 9.4.

 

 

Проверим гипотезу о распределении случайной величины . Найдем теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы по формуле , где — функция распределения нормального закона. Так как случайная величина , подчиненная нормальному закону распределения, определена на , то крайние интервалы в ряде распределения следует заменить на и . Тогда


 

Дальнейшие вычисления удобно оформить в виде таблицы (табл. 9.3).

Таблица 9.3

Номер интервала i средний пробег автомобилей (интервалы) Частота Теоретические частоты  
 
 
0,4 — 0,44 0,0749 7,49 13,3511  
0,44 — 0,48 0,0962 9,62 6,6528  
0,48 — 0,52 0,1517 15,17 5,3395  
0,52 — 0,56 0,1932 19,32 22,8261  
0,56 — 0,6 0,1859 18,59 23,7224  
0,6 — 0,64 0,1466 14,66 11,5280  
0,64 — 0,68 0,0872 8,72 11,4679  
0,68 — 0,72 0,0643 6,43 9,9533  
Итого   104,8411  

 

Определяем расчетное значение критерия К. Пирсона:

Находим число степеней свободы. По выборке были рассчитаны два параметра, значит, . Количество интервалов 8,т.е. . Следовательно, . Зная, что и , находим границу правосторонней критической области (см. Приложение 4). Таким образом, критической областью является интервал .

Так как расчетное значение критерия К. Пирсона не попадает в критическую область, то нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу о нормальном законе распределения. l

 









Дата добавления: 2015-05-28; просмотров: 1187;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.021 сек.