Интервальные оценки (доверительные интервалы)

Статистическая оценка некоторого параметра распределения наблюдаемой случайной величины , будучи функцией случайной выборки (статистикой), сама является случайной величиной, имеющей свой закон распределения и числовые характеристики (параметры) распределения. При малом числе наблюдений могут возникнуть следующие задачи:

§ к каким ошибкам может привести замена параметра его точечной оценкой ;

§ с какой степенью надежности можно ожидать, что получаемые ошибки не выйдут за известные пределы.

Определение. Интервальной оценкой (доверительным интервалом)называется числовой интервал , определяемый по результатам выборки, относительно которого можно утверждать с определенной, близкой к единице, вероятности, что он заключает в себе значение оцениваемого параметра генеральной совокупности, т.е.

, (8.4.1)

где и — нижняя и верхняя (левая и правая) границы доверительного интервала параметра , — доверительная вероятность.

Доверительная вероятность и уровень значимости связаны соотношением

.(8.4.2)

По заданной оценке и заданной доверительной вероятности доверительные интервалы можно построить различными способами. На практике обычно используются два типа доверительных интервалов:

§ двусторонние;

§ односторонние.

Ограничимся нахождением двусторонних доверительных интервалов. Односторонние доверительные интервалы находятся аналогично.

Для каждой доверительной вероятности можно указать такое значение , что

. (8.4.3)