Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия
Пусть — некоторый параметр закона распределения генеральной совокупности.
Определение. Точечной оценкой параметра называется произвольная функция случайной выборки .
Статическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки. Опишем свойства, которым должна удовлетворять оценка .
Определение. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е.
. (8.1.1)
Определение. Оценка называется состоятельной, если с ростом объема выборки она сходится к оцениваемому параметру. Можно рассматривать сходимость различных типов: по вероятности, с вероятностью равной единице, в среднем квадратичном и т.д. Как правило, рассматривается сходимость по вероятности, т.е. состоятельной называется оценка , которая для каждого при всех возможных значениях неизвестного параметра удовлетворяет соотношению
. (8.1.2)
Определение. Несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , вычисленных по случайным выборкам одного и того же объема.
Если оценка не является несмещенной, то она будет либо завышать значение , либо занижать его. В обоих случаях это приводит к систематическим ошибкам одного знака в оценке параметра . Состоятельность оценки обосновывает увеличение объема случайной выборки, так как при этом становится менее вероятной возможность большой ошибки в оценке параметра .
Замечание.В дальнейшем вместо обозначения будем использовать .
Определение.Выборочной средней называется среднее арифметическое полученных по выборке значений
. (8.1.3)
Определение. Вторым выборочным моментом называется среднее арифметическое квадратов, полученных по выборке значений
. (8.1.4)
Определение. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений в случайной выборке от выборочной средней
. (8.1.5)
Определение. Исправленной выборочной дисперсией называется произведение выборочной дисперсии на величину , т.е.
. (8.1.6)
Пример 1. Проверить, является ли второй выборочный момент несмещенной оценкой второго теоретического момента.
m Решение.Найдем математическое ожидание оценки .
L
Пример 2. Проверить, является ли оценка несмещенной.
Дата добавления: 2015-05-28; просмотров: 1544;