Корневые оценки качества. Переходная функция замкнутой системы как реакция системы на единичный скачок по положению вычисляется в соответствии с выражением (4.11)
Переходная функция замкнутой системы как реакция системы на единичный скачок по положению вычисляется в соответствии с выражением
(4.11), в котором второе слагаемое в виде суммы определяет переходную
составляющую
, (7.1)
a – различные корни характеристического уравнения замкнутой системы .
Если , , то , т.е. с течением времени переходная составляющая затухает.
В выражении (7.1) перейдем к модулям в левой и правой частях:
, (7.2)
где .
Обозначим расстояние от мнимой оси до ближайших действительного корня (рис. 7.1, а) или пары комплексно-сопряженных корней (рис. 7.1, б) на плоскости корней через .
Рис. 7.1
Величину будем называть степенью устойчивости. Очевидно, что . Так как , то для любого множителя в (7.2) будет справедлива оценка . Таким образом, (7.2) равносильно выражению
, а . (7.3)
Из (7.3) следует, что переходная составляющая затухает быстрее, чем экспонента с показателем – . Если принять время регулирования как время, начиная с которого войдет в 5 % трубку от начального значения, то из (7.3) получим , откуда
. (7.4)
Выражение (7.4) и соответственно величина характеризуют предельное быстродействие системы, поэтому иногда величину называют еще мерой быстродействия системы.
Из рассмотренного выше следует, что доминирующее влияние на характер переходного процесса оказывают ближайшие к мнимой оси корни. Если ближайшими являются комплексно-сопряженные корни , то наряду со степенью устойчивости вводят в рассмотрение колебательность системы (колебательность переходного процесса) . Паре комплексно-сопряженных корней в (7.1) соответствует составляющая
, (7.5)
где , – комплексно-сопряженные величины; A, – действительные величины.
Составляющая (7.5) носит колебательный характер. Период колебания определяется величиной . Уменьшение амплитуды в (7.5) за период Т будет равно , т.е. определяться величиной .
Перерегулирование в % может быть оценено по формуле
. (7.6)
С увеличением увеличивается число колебаний за время регулирования и возрастает перерегулирование. Величина носит качественный характер и является оценкой переходного процесса сверху, поэтому в действительности переходной процесс может иметь лучшие показатели.
Характер переходного процесса в значительной степени зависит от корней характеристического уравнения, т.е. от полюсов передаточной функции замкнутой системы. Однако на величину амплитуды переходных составляющих будут влиять и нули передаточной функции. Пусть полином N(s) имеет m нулей , тогда и выражение (7.1) примет вид .
Очевидно, если какой-то полюс будет близок (или в идеальном случае равен) нулю передаточной функции, то составляющая, соответствующая корню , будет мала по амплитуде (или равна нулю).
Впервые корневые оценки качества переходных процессов для систем третьего порядка были предложены в работе И. А. Вышнеградского (1876), положившей начало развитию теории автоматического управления.
Характеристическое уравнение системы третьего порядка путем замены переменной приводится к виду
, (7.7)
где , , .
Коэффициенты А, В – параметры Вышнеградского – являются комбинацией коэффициентов и в конечном итоге зависят от реальных параметров системы. Условие асимптотической устойчивости для уравнения (7.7) несложно получить с помощью критерия Гурвица, оно имеет вид АВ > 1. В области устойчивости, ограниченной гиперболой АВ = 1 в плоскости параметров А, В,нанесем кривые, разделяющие область устойчивости на области с одинаковым расположением корней характеристического уравнения (7.7).
На рис. 7.2 представлена диаграмма Вышнеградского, где для каждой области показано расположение корней и вид переходного процесса.
Таким образом, выбирая из диаграммы требуемый вид переходного процесса, можно найти необходимые значения параметров А, В или .
В заключение отметим ряд простых случаев, когда получены оценки степени устойчивости и соответственно быстродействия системы. Рассмотрим систему управления стандартной структуры, изображенной на рис. 3.1. Пусть передаточная функция объекта управления имеет вид , где .
рис. 7.2
Передаточную функцию будем рассматривать как передаточную функцию регулятора (управляющего устройства). Рассмотрим три случая закона управления: интегральный , пропорциональный , пропорционально-интегральный . Быстродействие объекта управления может быть охарактеризовано величиной . Доказано, что для интегрального закона управления быстродействие замкнутой системы, характеризуемое величиной степени устойчивости , не будет превосходить быстродействия объекта, т.е. .
Для пропорционального и пропорционально-интегрального законов управления быстродействие замкнутой системы управления может превосходить быстродействие объекта управления, но будет ограничено неравенством .
Приведенный частный результат распространяется на более общий
случай: астатические системы уступают по быстродействию системам статическим.
Пример 7.1. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид . Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет корни .
Если , то имеем два комплексно-сопряженных корня и , , .
Если , то имеем два действительных корня и , , .
Из приведенных соотношений следует, что при процессы в системе будут носить колебательный характер, а быстродействие системы будет ограничено величиной 6Т. При процессы носят апериодический характер, но быстродействие в системе уменьшается.
Дата добавления: 2015-05-26; просмотров: 887;