С помощью многоуровневых сигналов. Проблема квантования

Как мы уже знаем (см. разд. 1 и Прил. 3), много десятилетий инженеры стремились повысить скорость передачи телеграфных сообщений самыми разными методами, в том числе и за счёт использования многоуровневой телеграфии. Т. Эдисон и Дж. Прескотт в 1984 г. изобрели четырёхуровневый телеграф, а Г. Найквист в 1924 г. рассматривал многоуровневую телеграфию теоретически. Однако технически многоуровневую телеграфию удалось реализовать только в 1990-х годах: в радиосистемах с многопозиционной амплитудной манипуляцией M-ASK. При этом модуляция M-ASK может рассматриваться как частный случай квадратурной амплитудной модуляции QAM: модуляция QAM с одномерным сигнальным созвездием.

Так мы возвращаемся (на более высоком уровне развития технических средств телекоммуникаций) к проблематике многоуровневой телеграфии, которая привела к созданию прикладной теории информации (см. разд. 1).

Рассмотрим задачу оценивания количества знаковой информации, которую может передать статическая система ССПИ многоуровневой телеграфии, использующая канал КПДС с известным уровнем аддитивных помех в канале КПДС.

Если некоторая непрерывная физическая величина (например, напряжение u постоянного тока) используется для передачи с помощью статического канала КПДС дискретной информации, то возникает вопрос о количестве необходимых уровней и расстояниях между ними (количество «чётко различимых уровней» Г. Найквиста и К. Шеннона – см. разд. 1): проблема квантованияс минимальной потерей информации.

Пусть уровни передаваемых сигналов «многоуровневого телеграфа» могут лежать в пределах от – Uт до +Uт, а погрешности определения этих уровней с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП), работающего по правилу k = [ uu + 1/2 ], имеют равномерное распределение в пределах от – W до +W (W < Uт, см. рис. 14).

 

p(u)

 

2 W

 

 


U1 U2 Uk UN

U Δu 0+ U u

 

Рис. 14. Распределение уровней Uk и помех pп(u)

в системе ССПИ

 

Разобьём промежуток (– Uт, +Uт) на N уровней с интервалом (величиной кванта) Δu так, чтобы N = 1 + 2 Uтu. Если избыточность источника ДИС предварительно снята (соответствующим кодированием первичных знаков некоторыми символами vk), то все эти N уровней, соответствующие поступающим на ЦАП N символам vk (k = 1, 2, …, N ), будут равновероятными.

Как показано в разд. 10, большую роль в статистической и в информационной теориях радиосистем имеет энергетический параметр Q, называемый «отношением сигнал/помеха». В бинарной системе ССПИ он определяется как Q = U 2n2.

В многоуровневом телеграфе следует предварительно определить среднюю мощность сигнала . Если N – чётное число (см. рис. 14), то N = 2 M и

= ,

или = .

Но = (L + 1) (2 L + 1) (2 L + 3)/3. Поэтому

= (M – 1 + 1) (2 M – 2 + 1) (2 M – 2 + 3)/3 = M (2 M + 1) (2 M – 1)/3.

Значит, = Δu2 (2 M + 1) (2 M – 1)/12.

Если учесть, что Δu = 2 Uт /(N – 1), то есть = ,

то окончательно получим: = .

Если N – нечётное, то есть N = 2 M + 1, то = Δu 2 M (M + 1)/3 и при Δu = 2 Uт /(N – 1): = .

Итак, при любом значении N средняя мощность сигнала определяется

выражением

= . (12.1)

При N = 2 (обычный двухполярный телеграф или двухуровневая фазовая манипуляция 0º/180º – см. разд. 10) величина = 3 Uт2/3 = Uт2, что очевидно.

При N >> 1 величина Uт2/3, что соответствует равновероятному закону распределения бесконечного числа уровней Uk и пределах (– Uт, + Uт) и что следует из вычисления дисперсии случайной величины α, равномерно распределённой на произвольном числовом промежутке длиной 2 Uт (см. разд. 11).

Дисперсия же помехи, равномерно распределённой на промежутке (– W, + W), равна: σn2 = W 2/3. Значит, в многоуровневом телеграфе отношение

сигнал/помеха есть: Q = , или Q = , где Z ≡ Uт /W.

Если выполняется неравенство Δu > 2 W, то передача сообщений с помощью преобразователя ЦАП («многоуровневая телеграфия») будет абсолютно надёжной (Pjj = 1, χ(Π) = 1). При этом среднее количество информации , приходящееся на один передаваемый символ vk (k = 1, 2, …, N ), будет равно = log N = log (1 + 2 Uт u) (бит/символ).

Максимальное значение N0 = 1 + Uт /W соответствует величине кванта Δu = 2 W.

При уменьшении величины кванта Δu от Δu = 2 Uт до Δu = 2 W количество уровней N = 1 + 2 Uт u увеличивается от N = 2 до N = 1 + Uт /W = N0, а средняя информативность символа будет увеличиваться

от = log 2 = 1 до = log (1 + Uт /W ) = log N0 (бит/символ).

Если же величина кванта Δu будет менее 2 W, то количество уровней N = 1 + 2 Uтu будет больше величины N0, но эти уровни сигналов на выходном преобразователе ЦАП канала КПДС будут «перепутываться» и будет происходить частичная потеря знаковой информации относительно максимально возможной при данном значении отношения Z = Uт /W, то есть относительно величины

ℰ = = log N0 = log (1 + Uт /W ) = log (1 + Z ) = ,

так как 1 + Q = 1 + Z 2 (1 + Z + 1)/(1 + Z – 1) = 1 + 2 Z + Z 2 = (1 + Z )2.

Среднее количество информации на один входной символ, которое получается на выходе канала КПДС при данных значениях величин Uт, Δu и W, с учётом равенства Pj = 1/N, определяется по формуле (7.4):

= log , (12.2)

а коэффициент надёжности

χ(N, Q) = /log N, (12.3)

где n = (N – 1)/2 = Uт u, а Pjk – элементы переходной матрицы канала КПДС.

Если W < Δu ≤ 2 W, то будут «перепутываться» только соседние уровни (см. рис. 14) – и матрица Π = || Pjk || будет трёхдиагональной. В этом случае:

Pj j = = ; Pj, j +1 = Pj – 1, j = ,

кроме j = – n и j = n, при которых

P11 = PNN = , P12 = PN –1, N = .

Если обозначить величину Pj j = Δu /(2 W ) через p0, то

p0 = Δu /(2 W ), Pj, j+1 = P1, j–1 = (1 – p0)/2,

и матрица Π будет иметь вид

Π= .

Результаты расчётов по формулам (12.1) и (12.2) для канала КПДС с переходной матрицей Π приведены на рис. 15 (сплошные линии).

При N >> 1 из формулы (12.1) приближённо получаем:

= (1 – p0)/2 + p0 + (1 – p0)/2 = 1;

=

= log N + p0 log p0 + (1 – p0) log (1 – p0) + p0 – 1,

а число уровней N = 1 + 2 Uт u.

Если W < 2 Δu < 2 W, то матрица Π = || Pjk || будет пятидиагональной и т. д.

При Δu = 2 W = 2 σn ≈ 3,47 σn имеем:

p0 = Δu /(2W ) = 1, N = N0, ℰ(Π) = = = log (1 + Z ) = log N0.

При Δu < 2 W ( p0 ≤ 1) величина зависит от отношения сигнал/помеха Q = Z 2 (N0 + 1)/ (N0 – 1). Общая зависимость удельной информативности (бит/символ) многоуровневого телеграфа (или канала КПДС с цифро-аналоговым преобразованием) от количества уровней N = 1 + 2 Zт приведена на рис. 15.а (при значениях Z = 2, 4 и 8) сплошными линиями. Величину = ≡ ℰ(Q) мы назвали (см. разд. 9) удельной информационной ёмкостью статического канала КПДС.

На рис. 16 приведена зависимость информационной ёмкости ℰ(Q) – спло-шная кривая – и оптимального количества уровней N0(Q) – пунктир – статического канала КПДС от отношения сигнал/помеха Q при уровнях {Uk} , равномерно распределённых в пределах от U1= – Uт до = + Uт, и равномерном распределении помех – в пределах от – W до + W:

ℰ(Q) = ; N0(Q) = .

Поскольку количество уровней не может быть менее двух, то при Q < 3 следует воспользоваться формулой (9.3) p = (WU )/W = 1 – U/W = 1 – :

= 1 + log + (1 – ) log (1 – ).

χ


0,5

Z = 2 4

 

 

0

0 2 4 N0 6 8 10 N = 1 + 2 Uu

б )

бит

символ

4

Log N


3

2

 

1 4

Z = 2

0


0 2 4 N0 6 8 10 N = 1 + 2 Uu

а )

Рис. 15. Зависимость (а) удельной информативности

и (б) коэффициента надёжности : системы ССПИ

от количества уровней N = 1 + 2 U0u

Значит, если задано максимально допустимое значение модуля напряжения Uт на входе статического канала КПДС и уровень W равномерно распределённых помех в канале, то при нечётном значении величины [U0/W ], где [ x ] – целая часть величины x, то есть [ x ] – максимальное целое число, не превышающее значения x, то количество «чётко различимых уровней» (термин Найквиста и Шеннона) составляет N = [1 + Uт /W ] + 1. Если элементарные сообщения источника ДИС закодированы таким образом, что полученный вторичный источник ДИСвыдаёт символы “1” и “0” независимо друг от друга и с равной вероятностью, то информационный поток “единиц” и “нолей” следует объединять в блоки размера m = [log [1 + Uт /W ]] + 1.

N0

бит

символ

4 20 ℰ(Q)


N0(Q)

 

3 15 3 1 2

 

2 10

 

1

 

           
     

 


0

Q

Рис. 16. Зависимость информационной ёмкости (сплошная линия)

и оптимального количества уровней (пунктир) от величины Q

 

Таким образом, для передачи максимального удельного количества синтактической (дискретной) информации по аналоговому статическому каналу КПДС с равномерно распределёнными помехами нужно провести следующие операции.

1. Сообщение Si(n) = (ui1, ui2, …, uil …, uin) длины n необходимо закодировать двоичными символами (например “1” и “0”) таким образом, чтобы в любом i-м сообщении Si(n) символы “1” и “0” появлялись независимо и равновероятно (снять избыточность данного источника ДИС – см. разд. 5).

2. Исходя из допустимого на входе канала КПДС значения Uт и уровня W равномерно распределённых помех в канале определить число уровней кванто-

вания N0 = [1 + Uт /W ] при чётном n и N0 = [1 + Uт /W ] + 1 – при нечётном n.

3. Разбить поток символов “1” и “0” на последовательно идущие блоки bk длиной m = [ log N0] + 1.

4. Каждому блоку приписать значение уровня .

5. Подавать эти уровни напряжения (с помощью преобразователя ЦАП) на вход аналогового статического канала КПДС поблочно.

В этом случае реализуется удельная ёмкость канала КПДС

ℰ(Q) = при N0(Q) = , (12.4)

где Q – отношение сигнал/помеха: Q = Uт2 (N0 + 1)/[W (N0 – 1)].

Рассмотрим более реалистический вариант «многоуровневого телеграфа». Пусть помехи в канале КПДС распределены по гауссовскому закону с дисперсией Dn = σn2. Тогда в двухуровневой телеграфии даже при большом отношении сигнал/помеха Q = U02/Dn величина вых(2, Q) составляет не один бит-на-знак, а величину вых(2, Q) = χ(2, Q) = 1 + p log p + (1 – p) log (1 – p), где p = = (см. формулы (9.3), (10.1) и рис. 11).

При N > 2 для оценки величины вых(N, Q), где Q = Uт2 (N + 1)/[3 (N 1) σn2], воспользуемся формулой (12.2), в которой N = 2 M, а при k ≠ 1 и kN элемент Pj k переходной матрицы Π есть (см. рис. 17):

Pj k = ,

или Pj k = , (12.5)

где Φ(z) – интеграл вероятности; Φ(z) = .

При k = 1 или k = N:

Pj k = . (12.6)

 

 

Результаты численных расчётов по формулам (12.6), (12.5) и (12.2) зависимости вых(Q) при N = 2, 4, 8 и 16 приведены на рис. 18.

pп(u)


Pjk

 

 


U1 U2 Uj Uk UN

U Δu 0 + U u

 

Рис. 17. Распределение уровней Uk и гауссовских помех pп(u)

в статической системе ССПИ

 

Кривая 1 соответствует предельной ёмкости канала КПДС вых(Q) при N → ∞, которая и определяет, по существу, информационную ёмкость ℰ(Q) аналогового канала связи с ограниченной пиковой мощностью. Для проведения сравнения и аппроксимации на рис. 18 кривой 2 представлена зависимость информационной ёмкости ℰШ(Q) от отношения сигнал/помеха Q аналогового канала связи при ограниченной средней мощности – пунктир: ℰШ(Q) (формула Шеннона, которую мы упоминали в разд. 1 и которую выведем в разд. 13).

При больших значениях Q (Q ≈ 1000) величина ℰШ(Q) на 0,23 (бит/сим-вол) больше, чем величина, даваемая зависимостью ℰ(Q), которую, следовательно, можно аппроксимировать функцией ℰ(Q) .

Имея серию результатов расчёта величины вых(Q) при различных значениях N, можно построить аппроксимацию зависимости вых(Q) как поверхности над плоскостью {Q, N }. Для наглядности эту поверхность вых(Q, N ) при квазинепрерывном N можно представить её сечениями при значениях вых = = 1, 2, 3 и т. д. (бит/символ) – по аналогии с рельефом местности на топографи-

 

 

вых

бит

символ

4 21 16

 

 

3 8

 

 


2 4

 

 


1 N = 2

 

           
     

 


0

Q

Рис. 18. Зависимости величины вых от отношения сигнал/помеха Q

при различных значениях количества уровней N

ческих картах (см. рис. 19). А уже по аппроксимации вых(Q, N ) для квазинепрерывного N можно делать разнообразные практические выводы.

Например. Для конечных значений N < ∞ и при заданной величине Uт: чем больше будет величина кванта Δu = 2 Uт /(N – 1), тем меньше будет число уровней квантования (телеграфной линии) N, но тем меньше будет величина

вых. Получается задача на оптимизацию величины кванта Δu, и для выбора оптимального значения Δu0 следует задаться соответствующим критерием; например «ёмкость/стоимость».

Чтобы довести рассматриваемый пример до конкретных числовых результатов, нужно при каждом значении вых = , , … построить зависимость величины приведённого кванта q0 ≡ Δun от величин Q и N.

Для каждой кривой N(Q)|I = 1, 2, 3, можно построить связанную с ней зави-

 

 

Nq0 = Δu/σn

40 8 I = 1 2 3

 

 

30 6

       
   

 

 


20 4 q0(Q)|I= 1 q0(Q)|I= 2 q0(Q)|I= 3

 

               
       

 


10 2

       
 
   
 

 

 


0

Q

Рис. 19. Рельеф функции вых (N, Q) и выбор

оптимального количества уровней N 0 многоуровневого телеграфа

 

симость величины приведённого кванта q0 ≡ Δun от значения Q:

U = Δu (N – 1)/2; Q = .

Значит, q0 = .

На рис. 19 эти зависимости q0(Q) показаны пунктиром.

Так, согласно рис. 18, при = 1: N = 4, Q = 4,2; q0 = 1,9; N = 8, Q = 3,8; q0 = 0,85; N = 16, Q = 3,3; q0 = 0,395; при = 2: N = 8, Q = 24; q0 = 2,4; N = 16, Q = 21; q0 = 0,99 и т. д.

Если значение q0 выбрать, например, таким образом, чтобы гауссовская плотность вероятности аддитивных помех была бы эквивалентна равномерной плотности pр(x) со значением pр(0) = pn(0), то для нахождения величины Δu по-

лучаем равенство: Δu0 pn(0) = = 1.

Значит, , а Pj j ≈ 0,788 при j ≠ 1 и j N. Величину вых

при значении назовём практической информационной ёмкостью многоуровневого телеграфа и обозначим через ℰпр(Q).

Результаты расчётов зависимостей от отношения сигнал/помеха Q вели-

чины практической информационной ёмкости ℰпр и соответствующей ей оптимального количества уровней квантования N0 при Δu0 = 2,5 σn (процесс нахождения N0 показан стрелками на рис. 19) приведены на рис. 20.

 

пр N0

бит

символ

4 40 31

 

3 30 2

 

       
   

 


2 20 ℰ(Q)|N = 2

 

 


1 10 N=2

 

           
     

 


0

Q

Рис. 20. Зависимости от отношения сигнал/помеха Q

величины ℰпр и количества уровней N0

Кривая 1 показывает зависимость от отношения сигнал/помеха Q величины ℰпр для рассматриваемого канала КПДС, а кривая 2 – соответствующее величине ℰпр количество уровней N0.

Для проведения сравнения и аппроксимации на рис. 20 также приведена зависимость информационной ёмкости аналогового статического канала связи

Ш(Q), соответствующая формуле Шеннона (кривая 3).

Как видим, при больших значениях Q (Q >> 8) значение ℰпр одномерного

цифрового канала КПДС («многоуровневого телеграфа») на 0,45 (бит/символ) меньше, чем ёмкость аналогового канала с ограниченной средней мощностью

Ш. Поэтому зависимость вых(Q) при Δu0 = 2,5 σn можно аппроксимировать функцией: ℰпр(Q) ≡ при аппроксимации опти-

мального количества уровней квантования кривой .

Поскольку количество уровней в телеграфе не может быть меньше, чем

два, то при Q ≤ 3 величина ℰпр(Q) определяется формулой (9.3) – см. рис. 11. На

рис. 20 показаны полные зависимости величин ℰпр и N0 от отношения сигнал/помеха Q, а на рис. 21 приведена полная зависимость от величины Q коэф-

фициента информационной надёжности χ = ℰпр /log N0 системы передачи дис-

кретных сообщений при использовании многоуровневой симметричной амплитудной манипуляции M-ASK. Пунктиром на рис. 20 показана информационная ёмкость двухуровневого телеграфа (N = 2).

χ

1


 

 


 

           
     

 


0

1 3 10 30 100 300 Q

Рис. 21. Зависимость коэффициента информационной надёжности χ

системы передачи сообщений с симметричной модуляцией M-ASK

от величины Q

Вопросы для самопроверки

1. Каким образом вычисляется средняя мощность многоуровневого сигнала?

2. Каким образом вычисляется информационная ёмкость канала электросвязи с ограниченной пиковой мощностью при аддитивных равномерно распределённых помехах в канале?

3. Какова зависимость информационной ёмкости и оптимального количества уровней канала электросвязи с ограниченной пиковой мощностью от величины отношения сигнал/шум в канале в случае гауссовского шума?

4. Какова методика вычисления теоретической и практической информационной ёмкости, а также оптимального количества уровней и коэффициента информационной надёжности канала электросвязи с ограниченной пиковой мощностью в канале?

 








Дата добавления: 2015-05-16; просмотров: 962;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.22 сек.