Интеграл ошибок

Интеграл от функции нормального распределения

называется интегралом ошибок. Он определяет вероятность того, что результат отдельного измерения окажется между значениями a и b:

.

 

Табл. 4.2. Значения интеграла ошибок.

l 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257
l 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
0,758 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032
l 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772
l 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7
0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965
l 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2  
0,9974 0,9981 0,9987 0,9990 0,9993

 

В табл. 4.2 приводятся значения этого интеграла для и . Легко видеть, что в этом случае определена вероятность того, что результат измеренной величины окажется в пределах l стандартных отклонений в любую сторону от среднего значения :

. (4.26)

Полезно запомнить следующие оценки. Вероятность того, что результат измерения окажется в пределах одного стандартного отклонения от среднего значения ( ) составляет 68%.

Вероятность того, что результат измерения окажется в пределах двух стандартных отклонений 2 от среднего значения ( ) составляет 95,4%,

Вероятность того, что результат измерения будет лежать за пределами 3 относительно среднего значения равна 0,3%. Такие простые оценки позволяют понять точность полученных результатов, когда приводится статистическая ошибка измерения.

Часто для оценки точности экспериментальных данных вводится параметр Г, имеющий простую геометрическую интерпретацию - полная ширина распределения на половине высоты (рис. 4.5). Величины Г и связаны соотношением

. (4.27)

В случае распределения Пуассона со средним числом отсчетов стандартное отклонение .

Используя формулу можно решить и обратную задачу. Какое количество распадов должно быть зарегистрировано, если известна точность, с которой мы хотим получить результаты измерений? Если необходимо получить результат с точностью 10%, достаточно зарегистрировать около 100 распадов. Для того чтобы получить точность ~1% необходимо зарегистрировать ~104 распадов.

Табл. 4.3.
№ измерения Результат измерения

Возникает естественный вопрос. Если мы имеем какое-то определённое время на проведение эксперимента, как лучше провести измерение? Провести одно измерение, используя всё время эксперимента, или разбить время эксперимента на несколько частей и провести несколько независимых измерений? С формальной точки зрения результат должен получиться один и тот же. Однако более выгодно избрать вторую стратегию измерений. Дело в том, что в процессе проведения эксперимента могут быть различные сбои аппаратуры, которые могут привести к ошибочным результатам в отдельных измерениях. В том случае, когда имеется несколько независимых экспериментов, такого рода факторы могут быть обнаружены и в конечный результат эксперимента может быть внесена коррекция. Рассмотрим результат эксперимента по измерению активности, приведенные в табл. 4.3.

Было выполнено 10 измерений активности источника. Результаты этих измерений приведены во втором столбце таблицы. Настороженность вызывает результат 8-го измерения, который сильно отличается от остальных. Такой результат, как легко видеть, маловероятен. Действительно, если получить оценку среднего и величину стандартного отклонения среднего .

Используя 9 оставшихся измерений легко увидеть, что результат 8-го измерения отклоняется от среднего на 3 стандартных отклонения, т. к. значения и . Используя данные, приведенные в табл. 4.3, можно ожидать, что в среднем только один результат из 250 измерений может так сильно отличаться от среднего значения, как результат 8-го измерения. В нашем же случае было выполнено всего 10 измерений. Как поступить при анализе данных, приведенных в табл. 4.3? На первый взгляд кажется очевидным, что результаты 8-го измерения можно просто не учитывать - отбросить. Однако вопрос отбрасывания выпадающих результатов измерений не является бесспорным. Многие считают, что отбрасывание результатов измерений нельзя оправдать, пока не найдена причина, указывающая, что подозрительные данные неверны. В конечном счете, решение об отбрасывании результатов измерений всегда субъективно. Ситуация особенно усложняется, если учесть, что аномальный результат может быть следствием каких-то неизвестных эффектов. Многие важные научные результаты вначале выглядели, как аномальные результаты измерений и нередко более тщательный анализ причин этих аномалий приводил к важным открытиям. По-видимому, единственно правильная реакция на появление аномальных результатов - повторить измерение ещё несколько раз и внимательно проанализировать причину выпадающего измерения.

 








Дата добавления: 2015-05-16; просмотров: 829;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.