Интеграл ошибок
Интеграл от функции нормального распределения
называется интегралом ошибок. Он определяет вероятность того, что результат отдельного измерения окажется между значениями a и b:
.
Табл. 4.2. Значения интеграла ошибок.
l | 0,0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 |
0,5000 | 0,5398 | 0,5793 | 0,6179 | 0,6554 | 0,6915 | 0,7257 | |
l | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 | 1,1 | 1,2 | 1,3 |
0,758 | 0,7881 | 0,8159 | 0,8413 | 0,8643 | 0,8849 | 0,9032 | |
l | 1,4 | 1,5 | 1,6 | 1,7 | 1,8 | 1,9 | 2,0 |
0,9192 | 0,9332 | 0,9452 | 0,9554 | 0,9641 | 0,9713 | 0,9772 | |
l | 2,1 | 2,2 | 2,3 | 2,4 | 2,5 | 2,6 | 2,7 |
0,9821 | 0,9861 | 0,9893 | 0,9918 | 0,9938 | 0,9953 | 0,9965 | |
l | 2,8 | 2,9 | 3,0 | 3,1 | 3,2 | ||
0,9974 | 0,9981 | 0,9987 | 0,9990 | 0,9993 |
В табл. 4.2 приводятся значения этого интеграла для и . Легко видеть, что в этом случае определена вероятность того, что результат измеренной величины окажется в пределах l стандартных отклонений в любую сторону от среднего значения :
. (4.26)
Полезно запомнить следующие оценки. Вероятность того, что результат измерения окажется в пределах одного стандартного отклонения от среднего значения ( ) составляет 68%.
Вероятность того, что результат измерения окажется в пределах двух стандартных отклонений 2 от среднего значения ( ) составляет 95,4%,
Вероятность того, что результат измерения будет лежать за пределами 3 относительно среднего значения равна 0,3%. Такие простые оценки позволяют понять точность полученных результатов, когда приводится статистическая ошибка измерения.
Часто для оценки точности экспериментальных данных вводится параметр Г, имеющий простую геометрическую интерпретацию - полная ширина распределения на половине высоты (рис. 4.5). Величины Г и связаны соотношением
. (4.27)
В случае распределения Пуассона со средним числом отсчетов стандартное отклонение .
Используя формулу можно решить и обратную задачу. Какое количество распадов должно быть зарегистрировано, если известна точность, с которой мы хотим получить результаты измерений? Если необходимо получить результат с точностью 10%, достаточно зарегистрировать около 100 распадов. Для того чтобы получить точность ~1% необходимо зарегистрировать ~104 распадов.
Табл. 4.3. | |
№ измерения | Результат измерения |
Возникает естественный вопрос. Если мы имеем какое-то определённое время на проведение эксперимента, как лучше провести измерение? Провести одно измерение, используя всё время эксперимента, или разбить время эксперимента на несколько частей и провести несколько независимых измерений? С формальной точки зрения результат должен получиться один и тот же. Однако более выгодно избрать вторую стратегию измерений. Дело в том, что в процессе проведения эксперимента могут быть различные сбои аппаратуры, которые могут привести к ошибочным результатам в отдельных измерениях. В том случае, когда имеется несколько независимых экспериментов, такого рода факторы могут быть обнаружены и в конечный результат эксперимента может быть внесена коррекция. Рассмотрим результат эксперимента по измерению активности, приведенные в табл. 4.3.
Было выполнено 10 измерений активности источника. Результаты этих измерений приведены во втором столбце таблицы. Настороженность вызывает результат 8-го измерения, который сильно отличается от остальных. Такой результат, как легко видеть, маловероятен. Действительно, если получить оценку среднего и величину стандартного отклонения среднего .
Используя 9 оставшихся измерений легко увидеть, что результат 8-го измерения отклоняется от среднего на 3 стандартных отклонения, т. к. значения и . Используя данные, приведенные в табл. 4.3, можно ожидать, что в среднем только один результат из 250 измерений может так сильно отличаться от среднего значения, как результат 8-го измерения. В нашем же случае было выполнено всего 10 измерений. Как поступить при анализе данных, приведенных в табл. 4.3? На первый взгляд кажется очевидным, что результаты 8-го измерения можно просто не учитывать - отбросить. Однако вопрос отбрасывания выпадающих результатов измерений не является бесспорным. Многие считают, что отбрасывание результатов измерений нельзя оправдать, пока не найдена причина, указывающая, что подозрительные данные неверны. В конечном счете, решение об отбрасывании результатов измерений всегда субъективно. Ситуация особенно усложняется, если учесть, что аномальный результат может быть следствием каких-то неизвестных эффектов. Многие важные научные результаты вначале выглядели, как аномальные результаты измерений и нередко более тщательный анализ причин этих аномалий приводил к важным открытиям. По-видимому, единственно правильная реакция на появление аномальных результатов - повторить измерение ещё несколько раз и внимательно проанализировать причину выпадающего измерения.
Дата добавления: 2015-05-16; просмотров: 829;