Рассмотрим формулы средней гармонической и способы ее вычисления.

х₁ х₂ х_п х_i п п

х_h = ----------------------------------------------- = ---------- = -------- = ----------

х₁ + х₂ + … + х_п ∑ х_i ∑ х_i 1

∑ ---

---

х_i

Получили три эквивалентные формулы для средней гармонической. Первая является формулой взвешенной средней, две другие – гармонической простой, так как после алгебраических преобразований веса в числителе сокращаются.

Вопрос о том, какой из приведенных трех формул следует пользоваться для определения средней гармонической, решается в зависимости от того, какими исходными данными располагаем и какой расчет проще. Если располагаем данными, приведенными в таблице 11, расчеты по приведенным формулам такие:

1 1 1 1 1 1 1

∑ ---- * х_i --- * 12 + --- * 10 + --- * 6 + --- * 10 + --- * 12 + --- * 10

х_i 12 10 6 10 12 10

(1) х_h = ------------ = ----------------------------------------------------------------------- =

п 12 + 10 + 6 + 10 + 12 + 10

6

= ---- = 0,1 ч.

60

п 1 +1 + 1 + 1 + 1 + 1 6

(2) х_h = ----- = ----------------------------- = ---- = 0,1 ч.

∑ х_i 12+10+6+10+12+10 60

п 6 6

(3) х_h = -------- = ---------------------------------- = ----- = 0,1 ч.

1 1 1 1 1 1 1 60

∑ --- --- + --- + --- + --- + --- + ---

1 1 1 1 1 1 1

---- --- ---- ---- ---- ---- ----

х_i 12 10 6 10 12 10

Расчеты по всем трем формулам приводят к тождественному результату. Но каждая формула по-своему раскрывает отличия средней гармонической от средней арифметической. Из формулы (1) видно, что средняя гармоническая – средняя взвешенная из варьирующих обратных значений признака. Взвешенная она потому, что распределение обратных величин иное, чем прямых. Формулами (1) и (3) удобно пользоваться, когда известны только обратные варьирующие значения признака отдельных единиц совокупности, т.е. х_i, а нужна средняя из обратных значений признака.

Зная среднюю арифметическую, можно определить среднюю гармоническую. По условиям примера средняя выработка в час составляет 10 деталей, средние затраты труда на 1 деталь х_h = 1/10. Если же величина х_h известна, то средняя выработка в час х_h = 1/ (1/10) = 10, а произведение х_h* х =1 Это означает, что полученные средние отображают присущие осредняемым показателям свойства.

По формуле (3) видно, что средняя гармоническая по природе своей определяется на основе варьирующих обратных значений признака (1/х) и определяет собой величину, обратную средней арифметической из обратных варьирующих величин, т.е. (1/(1/х)).

Перечисленные отличительные особенности средней гармонической показывают, что она является самостоятельной средней, при помощи которой статистика решает важную самостоятельную задачу – получение обобщающих показателей для совокупностей, единицы которых характеризуются обратными величинами.

Если бы в нашем примере рабочие были разгруппированы по величине затрат времени на 1 деталь, как это обычно делается при большой совокупности, тогда данные таблицы 11 можно представить так.

x_h = --------------------------------------------- = ---------------- = ------------ = -------------.

x₁ f_{1 +} x₂ f_{2 + … +} x_n f_n ∑ x_i f_i ∑x_i f_i 1

∑---- f_i

---

x_i

Для расчета средней гармонической выбирается одна из приведенных трех формул в зависимости от имеющихся исходных данных, как это видно из следующих расчетов, основанных на данных таблицы 12:

1 1 1 1

∑ --- x_i f_i --- *6 * 1 + --- *10 *3 + --- * 12 * 2

x_i 6 10 12 6

(1) x_h = ------------ = ---------------------------------------------- = ------ = 0,1;

∑ x_i f_i 6 + 30 + 24 60

∑ f_i 1 + 3 + 2 6

(2) x_h = ----------- = --------------------------------- = ----- = 0,1;

∑ x_i f_i 6 * 1 + 10 * 3 + 12 * 2 60

∑ f_i 1 + 3 + 2 6

(3) x_h = ---------- = ---------------------------------- = ---------- = 0,1.

1 1 1 1 60

∑ --- f_i --- * 1 + --- * 3 + --- * 2

1 1 1 1

--- --- --- ---

x_i 6 10 12

Эти три формулы эквивалентны, а расчеты раскрывают те же отличительные особенности средней гармонической взвешенной, о которых сказано при рассмотрении средней геометрической простой.

Во многих учебниках по общей теории статистики широко распространено мнение, что средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда варьирующие значения весов f_i не известны, а известны варьирующие значения признака x_i и произведение x_i f_i = w_i. Например, известны варьирующие значения себестоимости единицы продукции данного вида и общие затраты на производство продукции на каждом заводе, но не известно количество произведенной продукции. В этом случае веса f_i определяются из равенства

w_i

f_i = --- ,а средняя себестоимость единицы данного вида продукции определяется

x_i

∑w_i

по формуле x_h = -------------. Эта формула лишь по внешнему виду обобщает

1

∑ ---- w_i

x_i

обратные значения 1/х_i, а по существу представляет собой среднюю арифметическую из прямых значений x_i, так как

∑w_i ∑ x_i f_i ∑x_i f_i

----------- = ------------ = --------- = x . Эта средняя не обратно пропорциональна

1 1 ∑ f_i

∑--- w_i ∑ --- x_i f_i

x_i x_i

определяющему показателю, т.е. является средней арифметической.

∑ w_i

Однако, учитывая распространенность формулы ---------- в учебниках

1

∑ --- w_i

x_i

по общей теории статистики, мы будем называть ее средней арифметической в гармонической форме в отличие от средней гармонической, при помощи которой обобщаются обратные варьирующие значения признака, формула

∑ f_i

которой x_h = ---------- .

∑ x_i f_i