Средняя квадратическая и средняя кубическая.

В некоторых случаях определяющее свойство средней выражается измерителями второго и третьего порядков, тогда применяются средняя квадратическая и средняя кубическая. Например, требуется определить среднюю сторону п квадратов, которая заменила бы собой конкретные величины, но оставила бы неприкосновенной общую площадь квадратов. Пусть стороны этих квадратов (x_i) принимают такие варьирующие значения: х₁ = 6,

х₂ =8, х₃ = 10 и х₄ = 20м. При этих условиях определяющий показатель квадратов формируется из величин второго порядка и равен:

х₁ ² + х₂ ² + … + х_п ² = 6 ² + 8 ² + 10 ² + 20 ² = 600 м²

средняя площадь среднего квадрата составляет:

х₁ ² + х₂ ² + … + х_п ² 6 ² + 8 ² + 10 ² + 20² 600 м²

--------------------------- = ---------------------------- = ---------- = 150 м².

п 4 4

Учитывая связь между стороной квадрата и его площадью, получаем размер стороны среднего квадрата:

Эта формула называется средней квадратической простой. В данном примере х_кв заменяет конкретные значения сторон квадратов, оставляя неприкосновенным определяющий показатель, т.е. общую площадь четырех квадратов. Действительно, 12,25 ² * 4 = 600 м². Если же не учитывать форму связи между определяющим показателем и осредняемым признаком и воспользоваться средней арифметической простой, получим, что средний

6 + 8 + 10 + 20

размер стороны квадрата равен: --------------------- = 11 м, а площадь четырех

квадратов составляет: 11² * 4 = 484 м², а не 600, т.е. получим ошибочный результат.

Если бы в рассматриваемом примере разным вариантам х соответствовали разные частоты, то формула средней квадратической приобрела бы вид:

Эта формула называется средней квадратической взвешенной.

Аналогично решается задача при определении средней стороны п кубов. В этом случае определяющим свойством является общий объем п кубов. При тех же значениях x_i размер стороны среднего куба, определяемый с учетом связи между стороной куба и его объемом, исчисляется по формуле средней кубической простой:

Формула же средней кубической взвешенной будет такой:

Средняя квадратическая и средняя кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Ими пользуются преимущественно для исчисления средних сторон квадратов, средних диаметров труб, стволов и т.п., необходимых для разного рода расчетов, как, например, для определения запасов древесины на складах и на лесных участках. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов х, а из их отклонений от средней ( х – х ). Такое среднее отклонение называется средним квадратическим отклонением.