Если все частоты разделить (или умножить) на произвольное число d, то средняя от этого не изменится.
7. Если веса всех вариантов равны между собой, то взвешенная средняя равна простой средней.
x1 f1 + x2 f2 + … + xn fn fi (x1 + x2 + … +xn) x1 + x2 + … + xn
x = ----------------------------- = -------------------------- = -----------------------
f1 + f2 + … + fn n fi n
n равных слагаемых
8. Средняя алгебраическая суммы равна алгебраической сумме средних.Так, если y, x и z – положительные варьирующие величины и
yi = xi+ zi, то
x1 + z1 + x2 + z2 + … + xn +zn x1 + x2 +… +xn z1 + z2 +… +zn
y = ------------------------------------- = ------------------- + ---------------------- = x + z
n n n
Например, если изделие состоит из двух деталей, изготовляемых разными рабочими, и при этом один из них тратит в среднем на одну деталь 20, а другой – 30 мин., то в среднем на одно изделие расходуется: 20+30=50 мин. Аналогично решался бы вопрос, если бы изделие состояло из трех и более деталей.
Рассмотрим среднюю гармоническую.
Средняя гармоническая служит для обобщения обратных значений варьирующего признака. Этим она отличается от средней арифметической, обобщающей прямые значения признака. В статистике прямыми значениями признака, как и прямыми обобщающими показателями, называются такие, которые увеличиваются при увеличении определяющего показателя и характеризуемых ими явлений и уменьшаются при их уменьшении. Обратными называются такие значения, которые при увеличении определяющего показателя и размеров изучаемых явлений уменьшаются, а при уменьшении их увеличиваются. Значения при этом, как и математические обратные величины, существуют одновременно и параллельно с соответствующими «прямыми» показателями того же свойства данного явления, а численные их значения взаимно обратны численным значениям «прямых показателей». Приведем несколько примеров прямых и обратных показателей по отношению к характеризуемым явлениям.
| Прямые показатели (х) | Обратные показатели (1/ х) | ||||
| 1. Производительность труда | |||||
| Выработка в единицу времени | Затраты рабочего времени на единицу продукции | ||||
| 2. Использование основных фондов | |||||
| Продукция на единицу фондов | Фонды на единицу продукции | ||||
| 3. Продуктивность земли | |||||
| Урожайность с гектара | Землеемкость единицы продукции | ||||
| 4. Оборот капитала | |||||
| Затраты капитала в единицу времени | Время оборота единицы капитала | ||||
| 5. Покупательная способность рубля | |||||
| Количество товара на 1 руб. | Цена единицы товара в рублях | ||||
| 6. Скорость движения | |||||
| Путь в единицу времени | Затраты времени на единицу пути | ||||
Из приведенных примеров видно, что вопрос о том, какой из двух статистических показателей прямой и какой обратный, решается в зависимости от характеризуемых явлений. Так, при характеристике производительности труда выработка в единицу времени является прямым показателем, а затраты рабочего времени на единицу продукции – обратными, потому что первый показатель увеличивается, а второй – уменьшается с ростом производительности труда. Аналогичны и другие приведенные показатели. Иначе говоря, прямыми являются такие статистические показатели, которые прямо пропорциональны изучаемому явлению, а обратными – обратно пропорциональные ему.
В приведенных примерах, как и в других подобных, оба взаимосвязанных показателя – вторичные и получаются в результате деления значения одного признака на другой. Например, для получения прямого показателя производительности труда количество единиц произведенной продукции делится на количество единиц затраченного времени, а обратного – количества единиц затраченного времени делится на количество единиц произведенной продукции. Между прямыми и обратными варьирующими значениями
признака объективно существует такая связь: х : ------ = 1.
х
из этого следует, что в статистике, где варьирующие значения выражают определенные свойства явлений, необходимо, чтобы эти свойства нашли отражение в обобщающих средних величинах – в средней арифметической х, обобщающей прямые значения варьирующего признака, и средней гармонической хh, обобщающей обратные значения признака, т.е. необходимо, чтобы х * хh = 1. Из этого исходит практика статистики и планирования. Так, если при изучении производительности труда установлено, что за час в среднем производится или будет произведено на заводе, по министерству и т.д. в среднем 10 единиц продукции х, то принято считать, что для производства одной единицы продукции расходуется или будет израсходовано в среднем
0,1 ч -----, следовательно, 10 * 0,1 = 1. Точно так же, если годовая затрата
х
основных фондов х составляет 1/6 часть всех фондов, то время оборота единицы
1 1 1
фондов --- составляет 1: --- = 6 лет, а --- * 6 = 1. Иначе расчеты, произведенные
х 6 6
на основании одного и того же признака, но выраженного в форме прямых и обратных варьирующих величин, не будет согласованы между собой.
Такова специфическая особенность средней гармонической в статистике в отличие от средней гармонической в математике. В математике «гармоническое среднее нескольких положительных чисел а1, а2, …, аn – число, равное
n »
-------------------------.
1 1 1
--- + --- + … + ---
а1 а2 ап
в этой формуле величина а1 – положительное число, а в статистике она обязательно еще и обратная величина, т.е. находится в обратной зависимости от размеров изучаемых явлений от определяющего показателя. Кроме того, обратные статистические показатели, выраженные дробными числами, могут быть представлены и в виде целых чисел, но в других единицах измерения. Например, можно затраты времени на одну деталь выразить в виде 1/12 часа или в 5 минутах. Независимо от того, как выражены варьирующие значения признака - в виде дроби или целого числа – прямые показатели обозначим х, а
обратные - --- . Следовательно, если прямой статистический показатель х = 6, то
х
1 1 1 1
обратный --- = 1/6, а если х = ---, то --- = --- = 6.
х 6 х 1
---
Дата добавления: 2015-04-29; просмотров: 1024;