Методика изучения величин

Развитие младших школьников при обучении математике в значительной степени зависит от усвоения ими таких базовых понятий, какими являются понятия числа и величины. Именно эти понятия составляют основу курса математики I - IV классов. Кроме того, формирование представлений, а затем и понятий о величинах и их измерении, выходит далеко за пределы курса математики и имеет общекультурное значение, так как данные представления и понятия широко используются при изучении других учебных предметов, при ознакомлении ребенка с окружающим миром, а затем и в практической деятельности взрослого человека.

9.1. Понятие величины

Понятие величины является одним из основных понятий, когда речь заходит о приложениях математики к окружающему миру. Данное понятие немаловажно для формирования современных представлений о мире и практической деятельности, поэтому уже в начальной школе его следует изучать в более многостороннем и абстрагированном виде.

В практике работы школ можно наблюдать, что учащиеся часто смешивают такие понятия, как «отрезок» и «длина отрезка», «площадь прямоугольника» и «прямоугольник»,. Поэтому учитель должен четко представлять себе и доводить до сознания учащихся, что длина отрезка – это число, характеризующее данный отрезок при выбранной единице измерения, а отрезок – часть прямой; прямоугольник – фигура, а площадь прямоугольника – число, характеризующее его, и т.д. Следует помнить, что число возникает в связи с измерением и что число – это мера отрезка (если измеряют длину), мера площади (если измеряют площадь фигуры), и т.д.

Некорректное использование термина «величина» объясняется, прежде всего, тем, что обозначаемое им понятие не является чисто математическим. Его применение во многих областях знаний (физике, химии, астрономии и др.) привело к употреблению этого термина в различных смыслах. Произошло смешение понятий «величина» и «мера», последнее из которых выражает величину после выбора некоторой единицы измерения.

Выявим инвариантное содержание понятия «величина».

Для более точного определения понятия «величина» обратимся к генезису (процессу возникновения и развития) некоторых величин.

Пример 1. Пусть дано множество отрезков. Отрезки обладают свойством протяженности. Это свойство называют длиной. Отрезки можно сравнивать по длине, накладывая или прикладывая один отрезок к другому. Найдя сумму двух отрезков, мы получим новый отрезок, длина которого равна сумме длин данных отрезков.

Длиной отрезка называется положительная величина, определенная для каждого отрезка так, что: 1) равные отрезки имеют равные длины; 2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то эта длина равна сумме длин этих отрезков.

Пример 2. Пусть дано множество многоугольников. Все мног оугольники обладают свойством занимать место на плоскости. Это свойство плоских фигур называют площадью и по этому свойству их можно сравнивать.

S = S + S

Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определенная для каждой фигуры так, что: 1) равные фигуры имеют равные площади, 2) если фигура составлена из конечного числа фигур, то ее площадь равна сумме площадей фигур ее составляющих.

Пример 3. Множество различных предметов обладают свойством инертности. Инертность – это свойство, которое характеризует ускорение, принимаемое телом при взаимодействии с другим. Понятие массы тела тесно связано с понятием веса – силы, с которой тело притягивается Землей в данном месте. Вес тела зависит не только от самого тела, но и от земного притяжения, т.е. от места на земном шаре. Вес различен на различных широтах: на полюсе тело весит на 0,5% больше, чем на экваторе. Однако при своей изменчивости вес обладает особенностью: отношение веса двух тел в любых условиях остается неизменным. При измерении веса тела путем сравнения его с весом другого выявляется новое свойство тел, которое называется массой.

Масса тела не изменяется, она одна и та же, где бы тело не находилось. С математической точки зрения масса – это такая положительная величина, которая обладает свойствами: 1) масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах; 2) масса нескольких тел, вместе взятых, равна сумме их масс.

Относительно термина «величина» среди математиков высказываются различные мнения. В философском словаре дается следующее определение данному понятию: величина – это числовая характеристика физических свойств объекта; служит для точной характеристики а) количественных отношений объектов; б) процессов действительности.

В толковом словаре С.И. Ожегова слово «величина» имеет три значения. 1. Размер, объем, протяженность предмета. Например. Площадь большой величины. Измерить величину чего-нибудь. 2. Величина – это то (предмет, явление и т.п.), что можно измерить, исчислить. 3. О человеке - переносное значение (он крупнейшая величина в физике).

В профессиональной речи учителя на основании общеупотребительных значений, приведенных в толковом словаре, слово «величина» употребляется в двух значениях.

1-е значение. Под величиной понимается свойство предметов или объектов, которое можно измерить. В этом значении термин «величина» является родовым понятием, к которому как видовые относятся понятия: «длина», «высота», «ширина», «объем», «время», «скорость» и др.

2-е значение. «Величина» - это количественная характеристика свойства предмета, выраженная в единицах измерения. В этом значении слово «величина» употребляется для выражения числового значения свойства предмета (например, высота дома 16 метров). В математике термин величина используется во втором значении.

Сравнение величин осуществляется с помощью измерения. Различают непосредственное и косвенное измерение.

При непосредственном измерении устанавливается равенство или неравенство однородных величин. Однако этот вид сравнения не позволяет отношения между величинами выразить количественно, то есть ответить на вопросы «Сколько?» и «На сколько…?». Для ответа на эти вопросы необходимо провести косвенное измерение. Косвенным измерением величины называется отображение множества, являющегося областью определения величины, во множество действительных чисел таким образом, что, если дана величина а и выбрана единица величины е, то в результате измерения величины находится такое действительное число х, что а = х × е. Число х называют численным значением величины а при единице измерения е.

В более общем смысле, косвенное измерение – вид деятельности, направленный на определение величины условного объекта. Объект измерения – измеряемая величина; средство измерения – выбранная мерка. Цель измерения – определить величину предмета, выразить ее числовым значением. Результат измерения – устанавливается численное отношение между измеряемой величиной и заранее выбранной единицей измерения.

Объект, средство и результат измерения находятся в функциональной зависимости. При измерении двух объектов одинаковой меркой наблюдается прямая зависимость; при измерении одного и того же объекта разными мерками – обратная зависимость.

9.2. Изучение величин в начальном курсе

математики

Изучение величин имеет большое значение, так как понятие величины является важнейшим понятием математики. При традиционном подходе в основу изучения математики как учебной дисциплины положены понятия «число» и «величина»; последовательность изучения понятий такова: число величина.

В образовательной системе В.В. Давыдова предусмотрено рассмотрение основных величин, их свойств и отношений между ними с тем, чтобы показать, что числа, их свойства и действия, производимые над ними, выступают в качестве частных случаев уже известных общих закономерностей величин. Структура данного курса математики определяется рассмотрением последовательности понятий: величина число.

Понятие величины в начальном курсе математики не определяется, то есть даётся без определения. Данное понятие раскрывается на конкретных примерах и основывается на опыте ребёнка. Как мы отметили, изучение величин базируется на сравнении соответствующих объектов. В связи с этим при изучении каждой величины в образовательнойсистеме В.В. Давыдова - Д.Б. Эльконина можно выделить следующие этапы:

1) сравнение объектов непосредственными действиями (на глаз, приложением, наложением и т.д.) и установление границ возможности использования таких приемов;

2) поиск опосредованного способа сравнения при выходе за эти границы (т.е. при невозможности или значительной затрудненности непосредственных способов сравнения);

3) выделение среди найденных опосредованных способов того, который связан с использованием произвольных мерок;

4) осознание основного правила использования мерок – необходимость использования одной и той же мерки при измерении сравниваемых объектов;

5) осознание удобства в использовании общепринятых единиц измерения величин и знакомство с ними;

6) знакомство с инструментами, предназначенными для измерения изучаемой величины общепринятыми единицами измерения, и (или) со способами косвенного определения величины.

По мере продвижения в изучении величин и приобретения опыта такого изучения, а также в связи с особенностями каждой величины, отдельные из перечисленных этапов свертываются или не возникают совсем, но при этом должны находиться в поле зрения учителя.

В методической литературе отмечается, что существенное значение при ознакомлении с величиной имеет использование знаний, умений и навыков, приобретаемых учащимися в связи с изучением чисел, действий над числами, а также изучением фигур и операций над фигурами (деление фигур на части, составление фигур из других). И наоборот, использование представлений о величине, ее свойствах и измерении в процессе формирования понятий «число», «фигура», «действия над числами».

Так, например, на основе четких представлений об измерении отрезков и их длине «в дециметрах» и «в сантиметрах» можно наглядно иллюстрировать ознакомление учащихся с двузначными числами.

Действия над величинами и их отношения равносильны аналогичным действиям и отношениям с их числовыми значениями.

1. Если величины а и b измерены при помощи одной и той же единицы измерения, то отношения между величинами а и b будут такими же, как и отношения между их числовыми значениями. Справедливо и обратное утверждение.

2. Если величины а и b измерены при помощи одной и той же единицы измерения, то, чтобы найти числовое значение суммыа + b, достаточно сложить числовые значения величин а и b. Справедливо и обратное утверждение.

3. Если величины а и b таковы, чтоb=ах, где х - неотрицательное число, то, чтобы найти числовое значение величины b, достаточно числовое значение величины а умножить на число х.

Перечисленные выше положения дают возможность строить ознакомление с числами, фигурами и величинами «параллельно». Используя для этого систему текстовых задач, при решении которых учащиеся выполняют ряд действий над числами, представляющими, в частности, значения той или иной величины (длины, площади, массы, времени, скорости). Специфическими, относящимися только к усвоению представлений о величинах, являются задачи, связанные с выработкой измерительных навыков, навыков «чтения» шкалы мерной линейки, часовой шкалы и т.п. Здесь важно сформировать у детей умение правильно установить измерительный инструмент или прибор. Например, при измерении отрезка нужно расположить линейку так, чтобы с концом отрезка был совмещен начальный штрих линейки (точка отсчета); при взвешивании сначала уравновешиваются пустые чашки весов и т.д.

При изучении величин и их измерении необходимо формировать реальные представления о единицах измерения, добиваться умения измерять отрезок «на глаз», оценивать массу небольших предметов, прикидывая ее «на руку», приучать определять небольшие промежутки времени без использования часов.

При этом особую роль играет знание детьми (на основе лично выполненных измерений) наиболее знакомых значений величин. Например, знание собственного роста (в сантиметрах), массы (в килограммах), размеры классной комнаты (длина и ширина в метрах). С учащимися можно опытным путем выяснить, что (в среднем, приблизительно) расстояние от кончиков пальцев одной руки до локтя другой руки, когда обе руки вытянуты в стороны, составляет около 1м, расстояние от пола до середины груди (стоя) также около 1м, ширина ладони несколько меньше 1дм.

Эти и другие знакомые значения величин дают возможность детям на основе непосредственного выполнения сравнений, а после этого и на основе сравнений «на глаз» правильно оценивать значения величин при решении большого круга практических задач.

Измерения без инструментов («на глаз») способствуют формированию у учащихся представлений об окружающей действительности, в частности формированию пространственных и временных представлений. Глазомер играет большую роль в практической и учебной деятельности человека, начиная с инструментальных измерений, где постоянно приходится оценивать «на глаз» относительные, а в некоторых случаях и абсолютные размеры частей делений на шкалах.

С опорой на измерительные навыки осуществляется работа по установлению соотношений между единицами измерения одной и той же величины, усваивается таблица мер.

Часто наиболее известные учащимся измерительные инструменты могут играть роль наглядных пособий.

§ В качестве «счетной машинки» можно использовать линейку.

§ В качестве наглядного пособия, иллюстрирующего образование уравнений, используются обычные чашечные весы. Такой подход дает возможность не только формировать необходимые навыки измерения массы, но и готовит детей к осознанию идеи уравнения.

Выполнение измерений дает возможность вырабатывать у школьников необходимые представления о приближенных значениях величины, о точности измерений, что подводит учащихся к пониманию процесса округления. Поэтому необходимо показывать детям не только случаи измерений, приводящие к целочисленным значениям величины, но и другие. Довольно рано учащиеся должны уметь оформить результат измерения, например, отрезка следующим образом: «длина отрезка около 7 см».

Заметное место в работе по формированию представлений о величинах занимает изучение простейших зависимостей между величинами, на основе которых изучаются производные величины. Наиболее ярким примером служит зависимость между скоростью движения, пройденным расстоянием и временем движения.

В курсе математики начальных классов дети знакомятся с различными величинами: длина, масса, емкость, время, площадь. Длина – это характеристика линейных размеров предмета (протяженности). Масса – это физическая характеристика предмета, определяющая его инертные и гравитационные свойства. Емкость – это объем мер жидкости. Время – это длительность протекания процессов. Площадь геометрической фигуры - это свойство фигуры занимать определенное место на плоскости.

При формировании представлений о каждой из названных величин целесообразно ориентироваться на определенные этапы, в которых нашли отражение: математическая трактовка данного понятия, его взаимосвязь с изучением других вопросов начальное курса математики, а также психологические особенности младшим школьников (Н.Б. Ис-томина):

1-й этап. Выяснение и уточнение представлений школьников о данной величине (обращение к опыту ребенка).

2-й этап. Сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путем использования различных мерок).

3-й этап. Знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.

4-й этап. Формирование измерительных умений и навыков.

5-й этап. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.

6-й этап. Знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот.

7-й этап. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

8-й этап. Умножение и деление величин на число.

Раскроем особенности формирования представлений о каждой величине в начальных классах.

Имеющийся у ребенка жизненный опыт позволяет ему осознать практическую значимость изучаемого понятия, связать его с реальными предметами и явлениями, перевести имеющиеся житейские понятия на язык математики. Дети еще в дошкольном возрасте встречаются с необходимостью в определенных ситуациях сравнивать реальные предметы между собой по конкретным признакам. Придя в школу, они уже имеют представления о том, что два различных предмета могут в чем-то быть одинаковыми, взаимозаменяемыми, а в чем-то различными. Например, два карандаша могут быть одинаковыми, так как их можно использовать для рисования, и в то же время они могут быть различными по цвету, форме, размерам.

Основу деятельности ученика на этапе сравнения величин составляют практические действия, выполняемые им в различных игровых ситуациях.

Сравнение отрезков осуществляется сначала на глаз, затем с помощью наложения одной полоски на другую. Затем рассматривается ситуация, когда для сравнения отрезков нельзя наложить или приложить, например, они даны в виде чертежа. Для их сравнения используется посредник, например, нитка или бумажная полоска. Натянутую нить прикладывают вначале к одной полоске, а затем к другой (не сдвигая пальцев, отмечающих на нити положение концов первой полоски). Можно предложить учащимся найти равные отрезки, если они являются сторонами многоугольников. Это задание выполняется на глаз, а затем равенство отрезков проверяется с помощью полоски или нитки.

Следующим важным шагом в изучении длины является формирование представлений об измерении длины отрезка.

Ознакомление с измерением длин отрезков – ответственный момент обучения младших школьников. Это обусловлено тем, что понятие «длина отрезка» является первым примером, относящимся к формированию общих представлений об измерении геометрических величин, а также тем, что навыки в измерении отрезков имеют важное практическое значение.

Большую роль в осознании детьми процесса измерения могут сыграть различные ситуации проблемного характера.

С помощью модели сантиметра ученик должен научиться решать две задачи: 1) измерить данный отрезок; 2) построить отрезок данной длины (построить прямую, отметить точку и от нее отложить нужное количество сантиметров).

На следующем этапе формирования навыков измерения отрезков данные задачи решаются с помощью линейки. Учитель знакомит детей с линейкой и учит пользоваться ею как измерительным инструментом.

Для лучшего осознания взаимосвязи между числом и величиной, т. е. положения о том, что в результате измерения получаются числа, которые можно складывать и вычитать, полезно в качестве наглядного пособия для сложения и вычитания чисел использовать ту же линейку.

После ознакомления учащихся с циркулем полезно познакомить их с применением циркуля для сравнения, измерения и построения отрезков.

При ознакомлении учащихся с величиной «масса предмета» следует использовать правильную терминологию и различать такие понятия как масса и вес предмета. Терминологическая некорректность, которую позволяют себе в быту взрослые, передается ребенку и впоследствии приводит к ошибкам при изучении физики. В связи с этим полезно на доступном детям уровне разъяснить различие между понятиями вес и масса. В процессе обучения в начальной школе дети знакомятся со следующими единицами измерения массы предметов: кг, г, т, ц, а также с соотношениями между ними.

Первые представления об измерении времени дети получают еще до школы. Они оперируют осознанно такими словами, как «один день», «два дня» и т.п. Многие дети знают, что неделя состоит из 7 дней. Надо иметь в виду, что слово «день» дети понимают по-разному: один день – одни сутки и день как светлая часть суток в отличие от вечера, ночи и утра. Многие учащиеся умеют определять время по часам, знают названия и последовательность дней в неделе, реже – названия и последовательность месяцев в году. Поэтому на первом этапе изучение темы «Меры времени» носит в основном обобщающий характер.

В результате изучения величины «время» у детей должны быть сформированы достаточно четкие представления о таких промежутках времени, как минута, час, сутки; учащимися должны быть усвоены соотношения между минутой и часом, часом и сутками, неделей и месяцем, месяцем и годом, основанные не на десятичных соотношениях.

Определяя методику, следует учитывать, что понятие времени весьма отвлеченное. Представление о том или ином промежутке времени может быть дано лишь на основе сравнения с каким-нибудь хорошо известным детям промежутком, например, продолжительностью урока или перемены.

Знакомство с такими единицами, как год, месяц, неделя, связывается с использованием табеля-календаря. Также необходимые сведения детям можно давать в ходе текущей работы. Например, при записях в тетрадях даты «28 февраля» им сообщается, что февраль – последний месяц зимы, что завтра начнется март и т.п. С опорой на календарь решаются практические задачи по определению продолжительности событий, если указана дата его начала и конца.

Полезно установить с детьми, что продолжительность урока 40 минут, перемены – 10 (15) минут, что за 1 минуту средним шагом можно пройти 60 – 70 м или просчитать не очень быстро от 1 до 60. Необходимо систематически давать ученикам задания для самостоятельного измерения времени дома: сколько времени требуется на то, чтобы встать и собраться в школу, на приготовление домашних заданий. Подобные упражнения, развивая временные представления детей, имеют и большое воспитательное значение. Необходимо приучать детей беречь время, рационально его использовать.

Знакомство учащихся с понятием «площадь фигуры» может быть разделено на три основных этапа.

Первый этап - подготовительный. На этом этапе в ходе закрепления и повторения выясняется необходимый, минимальный круг сведений, на основе которых строится ознакомление с понятиями площади фигуры. Основные вопросы для повторения:

1) представление о равных фигурах;

2) представление о деление фигур на части, о получении новых фигур путем складывания из других фигур. Подсчет числа частей фигуры;

3) представление о прямоугольнике (квадрате), о свойствах сторон этих фигур.

На втором этапе дается общее представление о площади фигуры, непосредственном и косвенном способах ее изме-рения. Необходимо познакомить детей с единицей измере-ния площади (кв. см) и с измерением площади фигуры с по-мощью палетки, с правилами (формулой) для вычисления площади прямоугольника и решением на этой основе задач, в которых: по известной длине и ширине находится площадь прямоугольника; по известной площади и длине (ширине) прямоугольника находится его ширина (длина).

Третий этап имеет своей целью, на основе переноса основных ЗУНов, полученных на 2 этапе, расширить представления учащихся о системе единиц измерения площади, соотношениях между ними в процессе решения задач.