Методика изучения геометрического материала

Начиная с 1969 года, в курс математики начальных классов введен геометрический материал как составная часть единого курса математики. При этом введение геометрического материала обосновывалось следующими причинами:

Ø Перегрузка школьного курса геометрии в старших классах, где за первые три месяца изучения этого курса дети должны были усвоить до ста новых понятий.

Ø А.М. Пышкало были выявлены несколько уровней мышления в области геометрии, которые условно назвали уровнями геометрического развития. Учет этих уровней позволил авторам программ по математике в начальных классах (М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, А.М. Пышкало и др.) часть геометрического материала перенести в начальную школу. На научной основе провести отбор материала, подлежащий изучению в начальных классах, и определить методический инструментарий, позволяющий эффективно усваивать этот материал младшими школьниками.

Ø Необходимостью повышения общекультурного уровня развития учащихся младшего школьного возраста средствами данной содержательной линии в математике, знакомства с пространственными отношениями между реальными объектами, геометрическими телами, плоскими фигурами на основе восприятия окружающего мира; обучения расчленению и структурированию окружающего мира с геометрических позиций; конструктивному мышлению и логическим умозаключениям.

В настоящее время при изучении геометрического материала в начальных классах достигаются следующие основные цели:

1. Подготовка учащихся к усвоению систематического курса геометрии в средней школе. Накопление запаса геометрических представлений, на основе которых в процессе дальнейшего обучения создаются благоприятные условия для успешного усвоения курса геометрии и других смежных дисциплин.

2. Развитие пространственного мышления детей как разновидности образного. Развитие практической ориентации в окружающем пространстве,

3. Ознакомление младших школьников с органичными для них геометрическими методами познания.

Охарактеризуем уровни геометрического развития (по А.М. Пышкало). Каждому уровню соответствует свой язык, содержащий определенную логическую и геометрическую терминологию, своя символика, своя глубина логической обработки изучаемого геометрического материала. Поэтому переход с одного уровня на другой связан с изменением языка, символики и глубины логической обработки геометрических объектов.

Отметим, что переход от одного уровня к другому не является процессом самопроизвольным, идущим одновременно с биологическим развитием человека и зависящим от его возраста. Этот переход протекает под влиянием целенаправленного обучения, а потому зависит от содержания и методов обучения, последние могут ускорять или тормозить этот процесс.

Первый, исходный уровень характеризуется тем, что геометрическая фигура (ГФ) рассматривается как целое, при восприятии ГФ ученики еще не выделяют ее элементов, не замечают, например, сходства между прямоугольником и квадратом. Фигуры различаются по своему внешнему виду. Дети легко узнают фигуры по их виду, хорошо запоминают их названия, но не видят общих признаков в этих фигурах (не видят в квадрате ромба, в ромбе параллелограмма и т.д.) Для ученика каждая фигура индивидуальна.

Учащиеся, достигшие второго уровня, умеют устанавливать отношения между самими фигурами и их элементами. Могут выделить свойства фигур экспериментальным путем, использовать эти свойства для узнавания фигур, но эти свойства не могут быть выведены логическим путем, а, следовательно, они логически не упорядочены в сознании учащихся. Итак, на этом уровне ГФ выступают носителями своих свойств, распознаются учащимися по их свойствам, но эти свойства еще не связываются друг с другом. Например, учащиеся быстро замечают, что у прямоугольника и параллелограмма противоположные стороны равны, но при этом не могут прийти к выводу, что прямоугольник есть параллелограмм.

Учащиеся, достигшие третьего уровня,уже умеют устанавливать связи между свойствами фигур и самими фигурами. Происходит логическое упорядочивание свойств. Уясняется возможность следования одного свойства из другого, Логические связи между свойствами устанавливаются с помощью определений. Ученик, понимая порядок логического следования, еще не может самостоятельно изменять или находить этот порядок и делает это за учителем или с помощью учебника. На этом уровне квадрат уже считается прямоугольником и параллелограммом.

Четвертый уровеньхарактеризуется тем, что учащиеся осознают значение дедукции в целом, как способа построения всей геометрической теории. Легко видят различные возможности развития теории, исходя из различных посылок, и могут использовать дедуктивные построения не только в области изучения свойств одной какой либо фигуры.

Пятый уровень геометрического мышления в области геометрии соответствует современному эталону строгости. На этом уровне достигается отвлечение от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений, связывающих эти объекты. Человек, мыслящий на этом уровне, развивает теорию вне всякой конкретной интерпретации.

Первого уровня могут достичь дети первого класса 6 - 7 лет. К окончанию начальной школы дети достигают второго уровня развития геометрического мышления. Третий уровень развития доступен всем учащимся к окончанию полной средней школы. Достижение четвертого уровня (во всей его полноте) всеми учащимися в настоящее время еще не предусматривается учебной программой школы. Однако, в чем нас убеждают многие эксперименты и опыт математических классов и школ, этот уровень вполне доступен учащимся 9 - 11 классов [61].

Современную стратегию обучения геометрии определяют следующие принципы:

· преемственность;

· фузионизм (взаимосвязанное изучение элементов плоскости и пространства);

· наглядность;

· личностно-ориентированное обучение.

Исторически развитие геометрических понятийшло от геометрии измерений к геометрии формы. Усвоение геометрического материала более успешно идет в обратном порядке от формы к измерению. В связи с этим в начальных классах полезно вести целенаправленное изучение большого числа геометрических объектов, не связывая эту работу только с измерением. Измерения должны следовать за изучением формы геометрических фигур.

Учитывая современные взгляды на последовательность формирования пространственных отношений и представлений о геометрических фигурах, необходимо формировать их «сверху вниз», т.е. процесс формирования геометрических фигур полезно осуществлять, в направлении от пространственных форм и пространственных отношений к плоскостным, как естественным составляющим пространственных (принцип фузионизма). В связи с этим уже в первом классе полезно рассмотреть объемные фигуры во взаимосвязи с плоскостными и получать плоские фигуры как проекции объемных, тем более что это можно наглядно продемонстрировать, применяя информационные технологии.

Изучение геометрического материала в начальных классах должно протекать с учетом принципа преемственности в изучении материала, т. е. строится с учетом знаний, полученных детьми в дошкольном детстве. Первоклассники уже знают названия геометрических фигур, однако используемые ими термины нередко оторваны от реальных представлений. В связи с этим при отборе геометрического материала полезно опираться на запас терминов, имеющихся у детей и проводить работу по раскрытию их научного содержания, т.е. выявлять их существенные признаки, учить узнавать фигуру не по ее наглядному образу, а по совокупности существенных признаков. Для этой цели хороши упражнения с использованием логической операции подведения под понятие. Например: «В конверте лежит фигура, у которой четыре прямых угла. Будет ли эта фигура квадратом?».

Метод моделирования признан наиболее перспективным в обучении математике. Доказана доступность метода моделирования даже для дошкольников. В связи с этим уже в первые дни изучения геометрического материала полезно учить детей определять геометрическую форму предметов из реального мира и схематично изображать их в виде геометрических фигур той же формы. Усложняя это задание, учить располагать предметы в пространстве с учетом их реального расположения.

Значительное место должно уделяться изучению взаимного расположения фигур относительно друг друга, рассмотрению новых фигур, которые должны получаться в результате пересечения или объединения данных фигур, выяснению факта принадлежности одной фигуры другой. Например: Дан рисунок. Какие фигуры получились в результате пересечения двух прямоугольников? Или назвать точки, которые принадлежат окружности. Совокупность таких упражнений хорошо представлена в учебниках математики по системе Л.В. Занкова [9-15]. Она предусматривает выполнение следующих упражнений:

· Сравнение фигур.

· Выбор сходных фигур.

· Выделение фигур из сложного чертежа.

· Складывание равносоставленных фигур.

· Преобразование фигур.

Связь геометрии формы с геометрией меры. При изучении геометрических фигур следует достаточное внимание уделять их построению и выработке измерительных навыков. В связи с этим, учить пользоваться чертежными инструментами: линейкой, циркулем. Формировать представление о точности измерений. Включая геометрический материал в курс математики, надо своевременно формировать измерительные навыки и представления о геометрических фигурах, необходимые для использования на смежных дисциплинах (труд, природоведение).

Геометрический материал должен рассматриваться не как приложение к основному курсу арифметики, а как самостоятельный раздел математики, направленный на формирование пространственных представлений, воображения и геометрической пропедевтики. В связи с этим для изучения геометрического материала должны отводиться как часть урока (первый, второй классы), так и целые уроки (второй – четвертый классы).

Рассмотримэтапы формирования геометрических понятий.В соответствии с теорией формирования понятий, разработанной Н.Ф. Талызиной, формирование понятий, в том числе и геометрических, можно осуществлять, соблюдая следующие этапы:

· Выделение всевозможных свойств объектов (объекта).

· Отделение существенных признаков от несущест-венных. Этап заканчивается введением названия понятия и выделением его существенных признаков.

· Подведение под понятие.

· Выведение следствия из факта принадлежности за-данной фигуры к данному понятию.

Изучение геометрического материала в начальных классах по альтернативным системам обучения характеризуется некоторыми особенностями, которые проявляются:

· В объеме геометрических сведений, подлежащих усвоению, и последовательности их изучения.

· В степени обобщения геометрических знаний, их роли в процессе обучения математике в начальной школе.

· В методах, формах и средствах, используемых для формирования геометрических представлений, понятий, чертежных и измерительных умений и навыков.

· В уровнях формируемых умений и навыков.