И навыков

5.1. Общие сведения о формировании письменных и устных вычислений

Формирование у школьников 1-4 классов вычислительных умений и навыков традиционно считается одной из основных задач курса математики в начальной школе. В «Обязательном минимуме содержания образовательных программ» лаконично указан раздел, который должен входить в любую образовательную программу: «Устные и письменные вычисления с натуральными числами». Уровень требований к подготовке выпускников отражен в слове научиться(научиться выполнять вычисления с натуральными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, деление с остатком устно и письменно в пределах миллиона), что мы понимаем как усвоить этот раздел на уровне умений и навыков.

Роль этих знаний в младшем школьном возрасте особенно значительна, поскольку

· изучение многих других дидактических единиц по математике немыслимо без вычислительных умений (см. темы: «Величины, их измерение, зависимость между величинами», «Задачи» и др.);

· развитие вычислительной деятельности способствует развитию ведущего в младшем школьном возрасте новообразования – произвольности поведения, которое выражается в умении планировать деятельность в соответствии с поставленной задачей, умения осознавать не только результат своей деятельности, но и сам процесс этой деятельности, понимать зависимость результата от характера процесса деятельности;

· влияет на формирование гибкости, рациональность мышления, умение осуществлять анализ ситуации и отбирать рациональные средства для ее решения;

· формирует умение моделировать действие.

По способу производства действий вычисления делятся на три вида: устные, письменные и полуписьменные.

Устные вычисления выполняются мысленно, совсем без записи чисел или с записью данных и результата в строчку. При этом сами вычисления выполняются разными способами и начинаются с единиц высшего разряда. Устные вычисления в процессе усвоения могут быть доведены до уровня навыка. Вычисления протекают в форме автоматизированного (неосознаваемого) психического регулирования, а обращение к развернутому алгоритму выполнения действия происходит только в случаях затруднений или по требованию учителя, желающего проверить степень осознанности выполняемого действия или для осуществления контроля за выполняемым действием.

Письменные вычисления характеризуются тем, что в процессе вычислений производится запись, как результата действия, так и промежуточных операций, которая имеет особую форму «в столбик». Вычисления выполняются по установленным правилам (алгоритмам) и начинаются с единиц низших разрядов (кроме деления). Письменные вычисления формируются на уровне умений и выполняются с опорой на усвоенный алгоритм действия, который постепенно сокращается, приобретая некоторые операциональные характеристики, но усвоенный алгоритм всегда остается регулирующей основой вычислительного действия.

Полуписьменные вычисления характеризуются частичным использованием признаков устных и письменных вычислений и чаще всего используются в особых приемах вычислений

328 · 25 = 328 · 100 : 4 = 328 : 4 · 100 = 8200

К полуписьменным вычислениям относят и деление в столбик, поскольку этот вид вычислений обладает признаками письменных и устных вычислений.

Устные вычисления в свою очередь делятся на табличные и внетабличные. К табличным вычислениям относят все случаи выполнения сложения и умножения с однозначными числами и соответствующие им случаи вычитания и деления. К устным внетабличным вычислениям относят все случаи вычислений в пределах сотни, кроме табличных и сводимые к ним вычисления с многозначными числами.

Обучение вычислениям происходит через усвоение алгоритма вычислительного приема.

Элементами теоретических знаний, с которыми встречаются школьники начальных классов при изучении математики, являются алгоритмы.

Понятие «алгоритм» является основным, неопределяемым. Сущность его на содержательно-интуитивном уровне может быть описана следующим образом: алгоритм- понятное предписание, указывающее, какие операции, и в какой последовательности необходимо выполнить с данными, чтобы решить любую задачу данного типа.

Известно, что алгоритм обладает свойствами массовости, элементарности и дискретности шагов, детерминированности и результативности.

Свойство массовости предполагает, что с помощью данного алгоритма могут быть решены все задачи определенного типа.

Свойство дискретности и элементарности шагов состоит в том, что при построении алгоритма выделяются строго дискретные (отдельные и законченные) шаги (операции), каждый из которых в состоянии выполнить исполнитель (в этом смысле каждый шаг считается элементарным). В записи алгоритма свойство дискретности выражается в выделении отдельных пунктов (указаний) при словесной форме, или блоков на языке алгоритмов.

Свойство детерминированности подразумевает то, что решение задач по данному алгоритму является процессом строго («жестко») направленным: он однозначно определяет первый шаг и каждый следующий.

Свойство результативности полагает, что точное выполнение указаний алгоритма при решении любой задачи из данного класса однотипных задач всегда (в конечное число шагов) должно приводить к определенному результату. Заметим, что этим результатом может быть установление факта, что задача решения не имеет.

Перечисленные свойства являются характеристическими свойствами понятия «алгоритм».

Всякий алгоритм описывает общий метод решения класса однотипных задач, т. е. алгоритм является формой выражения этого метода.

Для описания общего метода решения класса однотипных задач в школе также часто используются правила.

Правило представляет собой «свернутый» алгоритм. Отдельные шаги его являются блоками (системами операций в «сжатом» виде); некоторые операции, необходимые на начальном этапе формирования метода, вообще не содержатся в формулировке правила.

Правила в учебниках выражаются формулами и формулировками на естественном языке. Использование правил имеет ту же цель, что и использование алгоритма: формирование общих методов решения класса однотипных задач.

Всякий алгоритм можно назвать правилом, но не всякое правило можно назвать алгоритмом: в формулировке правила часто четко не выделяются все шаги — оно не обладает в этом случае свойством детерминированности.

Для правильной организации работы учащихся по овладению алгоритмами школьного курса математики, учителю необходимо овладеть умением выполнять логико-математический анализ алгоритмов (правил).

Логическийанализ алгоритмов (правил) предполагает:

а) проверку наличия у данного правила характеристических свойств алгоритма;

б) выделение последовательности операций и логических условий в данном правиле;

в) установление связи алгоритма (правила) с другими знаниями.

Математический анализ алгоритмов (правил) состоит в установлении математической основы данного правила (алгоритма), т.е. тех базовых математических положений из курса математики, которые в адаптированном к возрасту виде даются в курсе математики начальных классов (они обычно называются обосновывающими знаниями);

Покажем логико-математический анализ алгоритма деления трехзначного числа на однозначное. Приведем формулировку алгоритма, изучающегося в 3 классе:

Чтобы разделить трехзначное число на однозначное можно:

· определить число цифр в значении частного;

· подобрать первую цифру результата;

· проверить, правильно ли подобрана первая цифра в значении частного;

· образовать второе неполное делимое и т.д.

Прежде всего, обратим внимание на выполнение характеристических свойств алгоритма.

В словесной формулировке алгоритма выделены дискретные шаги, каждый из которых представляет собой операцию, ранее сформированную у школьников (например, определение числа цифр в значении частного и др.). Поэтому приведенное правило обладает свойствами дискретности и элементарности шагов.

В словесной формулировке также строго указана последовательность шагов (все шаги занумерованы). Это говорит о том, что данный алгоритм обладает свойством детерминированности.

Это правило обладает свойством массовости. Применяя его, можно разделить любое трехзначное число на однозначное. Нужно только иметь в виду, что данный алгоритм применяется для кратных чисел, т.е. для чисел, при делении которых деление осуществляется без остатка, что является логическим условием, определяющим область применения этого алгоритма.

Наконец, применяя данное правило для кратных между собой чисел, всегда можно найти результат деления трехзначного числа на однозначное. Это значит, что данное правило обладает свойством результативности.

Таким образом, заданная последовательность действий обладает всеми характеристическими свойствами алгоритма. В нем уже выделены операции и указана их последовательность.

Анализ полученной схемы позволяет установить связи данного алгоритма с другими знаниями. Например, алгоритм деления трехзначного числа на однозначное предполагает знание другого алгоритма: определение числа цифр в значении частного, который, в свою очередь, состоит из двух шагов (операций):

· определение первого неполного делимого;

· установление старшего разряда в значении частного.

После выполнения этих двух операций можно сделать вывод о числе цифр в значении частного. Последнее предполагает, что дети должны знать разрядный состав числа и место каждого разряда в записи числа. Кроме того, данный алгоритм предполагает знание детьми табличных и внетабличных случаев умножения и деления, прием деления с остатком, вычитание чисел в пределах ста и др.

Для того чтобы выполнить математический анализ алгоритма, необходимо за операциями алгоритма увидеть их математическую основу, или, другими словами, ответить на вопрос, на основании каких математических знаний можно выполнять ту или иную операцию, входящую в алгоритм.

Теоретической основой рассматриваемого алгоритма является правило деления суммы на число (следствие из распределительного свойства деления относительно сложения), поскольку изначально это правило позволяет нам представить число в виде суммы удобных слагаемых и затем, применив правило деления суммы на число, выполнить деление каждого слагаемого на делитель.

Например, 535 : 5 = (500 + 35) : 5 = 500 : 5+35 : 5 = 100 + 7 = 107.

Таким образом, обосновывающим знанием для рассматриваемого алгоритма является правило деления суммы на число.

Логико-математический анализ алгоритма позволяет правильно осуществить отбор материала для работы с учащимися по овладению алгоритмом.

Работа с учащимися по овладению алгоритмом обычно включает три основных этапа: 1) введение алгоритма; 2) усвоение алгоритма; 3) применение алгоритма, обеспечивающих восприятие, осознание и осмысление каждой операции алгоритма и последовательность их применения, свертывание процесса рассуждений, которым сопровождается усвоение алгоритма и применение сформированного умения.

Охарактеризуем цель каждого из выделенных этапов:

цель первого этапа — актуализация знаний, необходимых для введения и обоснования алгоритма, а также знакомство с алгоритмом;

цель второго этапа — отработка операций, входящих в алгоритм, и усвоение их последовательности;

цель третьего этапа — отработка алгоритма в знакомых (при варьировании исходных данных) и незнакомых ситуациях.

Основным средством, используемым на различных этапах формирования алгоритма, является совокупность упражнений. Ее содержание определяется на основании логико-математического анализа конкретного алгоритма.

Можно выделить и преобладающие формы работы с учащимися на разных этапах формирования алгоритма. Так, на первом этапе это устная работа на актуализацию опорных знаний. На втором этапе — письменная коллективная работа с широким использованием комментирования выполняемых действий. На третьем этапе — самостоятельная работа

5.2. Понятие «вычислительный прием»

Под вычислительным приемом (ВП) понимают совокупность операций, приводящую к нахождению результата вычислений в выражениях определенного типа. Чаще всего эта совокупность операций содержит:

· разбивку одного из чисел на части, что приводит к получению составного выражения;

· применение свойства арифметического действия для изменения порядка действий в полученном составном выражении;

· выполнение во вновь полученном составном выражении вычислений по правилу порядка действий.

Например, для вычислительного приема «вычитание двузначного числа из двузначного без перехода через разряд» развернутая запись выполнения указанных операций имеет следующий вид:

46 – 14 = 46 – (10 + 4) = (46 - 10) – 4 = 36 – 4 = 32

Полный алгоритм рассуждений, сопровождающий данную запись, включает название всех операций, входящих в вычислительный прием, в заданной последовательности и указания обоснований для применения этих операций. Например, полный алгоритм рассуждений для вышеназванного ВП 46 - 14 будет выглядеть так:

1 часть. Чтобы найти значение выражения 46 - 14 можно свести его к ранее изученным приемам вычислений, для этого можно число 14 разложить на сумму разрядных слагаемых 10 и 4 и эту сумму вычесть из числа 46. Получим составное выражение 46 – (10 + 4).

2 часть. Чтобы вычислить значение полученного составного выражения можно изменить указанный в выражении порядок действий, применяя правило вычитания числа из суммы. Удобно из 46 вычесть 10 и из полученной разности вычесть 4. Получим (46 – 10) – 4.

3 часть. Чтобы вычислить значение нового составного выражения применим правило порядка действий и применим уже известные нам случаи вычислений: из 46 вычесть 10 получится 36 и из 36 вычесть 4 получится 32.

4 часть. Значение выражения 46 – 14 равно 32.

Таким образом, основным принципом, определяющим последовательность введения вычислительных приемов, следует считать сведение нового вычислительного приема к ранее изученным.

Так, рассмотренный нами вычислительный прием 46–14 путем трех вышеуказанных операций был сведен к таким вычислительным приемам как 46 – 10 и 36 – 4, которые должны быть изучены ранее.

Принцип сведения нового вычислительного приема к ранее изученным предполагает, что каждый ВП требует знания определенной совокупности базовых знаний, опираясь на которую можно организовать самостоятельную деятельность детей по открытию нового ВП и его осознанное усвоение. Например, изучение умножения двузначного числа на однозначное опирается на следующую совокупность базовых знаний:

· разрядный состав чисел;

· свойство умножения суммы на число;

· правило порядка действий; умножение круглых десятков на однозначное число;

· табличные случаи умножения;

· сложение двузначных чисел.

Каждый вычислительный прием имеет название. При указании названия ВП следует сначала обратить внимание на знак действия в выражении, а затем на особенности чисел (указать их значность: однозначные, двузначные, многозначные, либо круглые десятки и т.д.). Рассмотренный нами вычислительный прием 46 – 14, следует назвать так: вычитание двузначного числа из двузначного. К сожалению, не всегда в методических указаниях к программам при ознакомлении с ВП рекомендуют давать ему полное название, тогда как только название ВП помогает учащимся отнести предложенное для вычисления выражение к тому или иному ВП и определить способ (алгоритм) его вычисления.

Теоретической основой ВП могут служить свойства арифметических действий или следствия из них, с помощью которых данный вычислительный прием сводят к ранее изученным, и таким образом находят значение данного выражения. Например, для рассмотренного нами случая, теоретической основой является правило вычитания суммы из числа. Для вычислительного приема 540 · 60 – умножение трехзначного числа, оканчивающегося нулями на круглые десятки – теоретической основой может служить правило умножения числа на произведение, которое позволит свести данный вычислительный прием к ранее изученным: 540 · 6 – умножение трехзначного числа, оканчивающегося нулями на однозначное и 3240 · 10 – умножение числа на 10.

540 · 60 = 540 · (6 · 10) = (540 · 6) · 10 = 3240 · 10 = 32400

и именно этот подход фиксируется в записи при письменных вычислениях:

х540

60

Один и тот же ВП может иметь несколько теоретических основ. Например, вычислительный прием 423 + 245 можно вычислить, используя сочетательное свойство сложения:

423 + 245 = 423 + (200 + 40 + 5) = ((423 + 200) + 40) + 5 = =(623 + 40) + 5 = 663 + 5 = 668

или можно при рассуждениях опираться на знание вопросов, связанных с нумерацией чисел, а именно, знание поразрядного состава чисел, тогда рассуждаем так:

423 + 245= =4 с. 2 д. 3 ед. + 2 с. 4 д. 5 ед. = (4 с. + 2 с.) + (2 д. + 4 д.) + (3 ед. + +5 ед.) = 6 с. 6 д. 8 ед. = 668.

В то же время можно выделить группы приемов, имеющих одинаковую теоретическую основу, что позволяет использовать общие подходы в методике формирования соответствующих умений и навыков (см. таблицу).

Таблица

5.3. Вычислительный навык и его качества

Многие вычисления, изучаемые в начальных классах, должны быть сформированы на уровне навыка или вычислительного умения.

Под навыком психологи понимают автоматизированные компоненты сознательного действия человека, которые вырабатываются в процессе его выполнения. Под вычислительным навыком будем понимать автоматизированное выполнение учеником вычислительного действия.

Полноценно усвоенные вычислительные навыки характеризуются шестью качествами: правильностью, прочностью, осознанностью, обобщенностью, рациональностью и скоростью (автоматизацией).

Качество правильности проявляется в том, что ученик верно выбирает и выполняет вычислительные операции входящие в состав действия, что позволяет ему получать верный результат. Наличие такого качества обычно устанавливается в процессе устного опроса или математического диктанта.

Осознанность проявляется в том, что ученик осознает на основе каких знаний осуществляется переход от одной операции к другой, какое правило определяет порядок выполнения операций. Ученик в любой момент может объяснить как он вычислял и почему так можно находить значение выражения. Наличие данного качества можно выявить с помощью устного опроса, или специально составленных тестов.

Прочностьвыражается в том, насколько долго удерживается в памяти вычислительный прием и не утрачивается в тот период, когда он практически не используется. Данное качество обычно проверяется в начале нового учебного года, когда учитель дает тот же математический диктант, который проводился в конце предыдущего года. Сравнив результаты можно установить, какие из вычислительных приемов усвоены прочно, а какие требуют доработки или повторения.

Качество обобщенности проявляется в умении переносить известный вычислительный прием в новые условия. Обычно это можно выявить при открытии сходного вычислительного приема в новом числовом концентре.

Рациональностьпроявляется в умении выбирать те способы вычисления, которые быстрее приводят к нахождению результата. Проверить наличие этого качества можно, предложив ученику вычислить значение выражения разными способами и выбрать из них рациональный.

Автоматизм (скорость) проявляется в качественном и быстром выполнении вычислительного действия за счет свертывания операций входящих в его состав. Автоматизм (скорость) ВП проверяют с помощью специально организованных математических диктантов «на скорость» и последующим сравнением результатов выполнения работы с нормой.

Наиболее распространенной теорией усвоения, на которую ориентируются большинство существующих технологий обучения является теория поэтапного формирования умственных действий (Л.С. Выготский, П.Я. Галь-перин, Н.Ф. Талызина). В ее основе лежит идея о принципиальной общности внутренней и внешней деятельности человека. Согласно этой идеи, умственное развитие, как и усвоение знаний, навыков и умений, происходит путем интериоризации, т.е. поэтапном переходе материальной внешней деятельности во внутренний умственный план. В результате такого перехода, действия с внешними предметами преобразуются в умственные и интериоризируются. При этом они подвергаются обобщению, вербализуются, сокращаются и становятся готовыми к дальнейшему внутреннему развитию, которое может превышать возможности внешней деятельности.

Последовательность усвоения алгоритма ВП на основе теории поэтапного формирования умственных действий слагается из этапов.

1. Предварительное знакомство с ВП, т.е. с совокупностью операций, которая является ориентировочной основой вычислительного действия (ООД). Знакомство осуществляется с помощью различных видов моделей (материальной, графической, математической) и проговаривается система условий его выполнения.

2. Выполнение действия в материальном или материализованном виде. На данном этапе учащиеся самостоятельно в соответствии с заданием выполняют действие в развернутой материальной (оперируя реальными предметами) или материализованной (преобразовывая модели) форме.

3. Этап внешней речи. Здесь функцию ООД выполняет речь. Учащиеся проговаривают вслух в определенной последовательности ту совокупность операций, которая входит в ВП. При этом в их сознании происходит обобщение, сокращение учебной информации, а алгоритм выполнения действия начинает автоматизироваться.

4. Этап внутренней речи. Обучаемые проговаривают алгоритм выполняемого действия про себя. При этом делается акцент только на наиболее сложные значимые операции, что способствует дальнейшему мысленному свертыванию и обобщению алгоритма.

5. Этап автоматизированного действия. Учащиеся автоматически выполняют вычислительное действие. Это свидетельствует о том, что действие интериоризировалось, т.е. перешло во внутренний план, и необходимость во внешней опоре отпала.

Обучение вычислениям можно осуществлять, придерживаясь следующей технологии.

Принято считать, что процесс вычислений требует только репродуктивного воспроизведения соответствующего алгоритма. Поэтому в педагогической практике преобладает такой подход, при котором обучение вычислительным приемам идет репродуктивным путем. Деятельность детей состоит во внимательном слушании учителя, выполнении практических действий по заданной инструкции или образцу, объяснении готового решения. В этих условиях вычислительные навыки формируются в результате выполнения большого числа однообразных заданий, и не приобретают необходимых качественных характеристик. При таком обучении не происходит и существенного умственного развития.

Формирование полноценного вычислительного навыка должно обеспечиваться созданием ряда специальных условий. Первостепенное значение имеет систематическая работа по формированию мотивов учебной деятельности, организация поисковой, эвристической деятельности учащихся на этапе восприятия вычислительного приема, целенаправленный отбор заданий для обеспечения осознания и осмысления вновь вводимого вычислительного приема, насыщение всего процесса формирования заданиями на развитие приемов умственных действий, учет индивидуальных особенностей усвоения.

При формировании вычислительных навыков необходимо исходить из того, что мышление - это активная, целенаправленная деятельность, в процессе которой осуществляется переработка имеющейся и вновь поступающей информации, отчленение внешних случайных или второстепенных ее элементов от основных или внутренних, отражающих сущность исследуемых ситуаций, раскрывается закономерная связь между ними.

Задача учителя заключается в умелом руководстве этой деятельностью. Управлять - не значит подавлять, навязывать процессу мышления ход, противоречащий его природе, а, наоборот, максимально учитывать эту природу, согласовывать каждое воздействие на процесс с его логикой и особенностями усвоения учащихся. В связи с этим, оптимально подобранная совокупность заданий на каждом этапе формирования вычислительного навыка становится средством управления мышлением и практическими действиями школьников.

Раскроем принципы отбора совокупности упражнений, которую полезно предлагать учащимся на этапе осознания и осмысления вычислительного приема.

На этапе осознания и осмысления вычислительного приема полезно предлагать такую систему упражнений, которая удовлетворяет, по меньшей мере, следующим принципам: полноты, однотипности, контрпримеров, сравнения, вариативности и непрерывного повторения. Кратко охарактеризуем сущность каждого из указанных принципов.

Реализация принципа полноты предполагает, что совокупность упражнений будет содержать задания, обеспечивающие осознанное применение всех операций, связанных с усвоением изучаемого вычислительного приема. К ним мы относим упражнения:

· на отбор выражений, значение которых можно находить с помощью изученного вычислительного приема;

· на отработку каждой операции, входящей в состав вычислительного приема;

· на понимание математического смысла и последовательности выполнения каждой операции входящей в состав алгоритма;

· на осуществление контроля и оценки выполненного вычислительного приема.

Совокупность упражнений будет соответствовать принципу однотипности, если на каждую из выше перечисленных операций будет выполнено достаточное число однотипных упражнений. При этом достаточность определяется индивидуальными особенностями скорости усвоения материала каждым учеником класса. Для осознания и осмысления операции некоторым детям достаточно выполнить одно упражнение, для других, этого количества бывает недостаточно. Здесь нужно подходить дифференцированно, ориентируясь на уровень развития детей в классе и организовать работу так, чтобы одним стало понятно, а другим было интересно.

Принцип контрпримеров предполагает включение в совокупность таких заданий, которые провоцируют ученика на ошибку. Умение увидеть ошибку это уже определенный уровень освоения алгоритма вычислительного приема. В связи с этим такие упражнения могут служить как для осознания и осмысления вычислительного приема, так и для диагностики уровня сформированности вычислительного приема и самоконтроля. Кроме того, такие задания дети воспринимают как своеобразную игру, с интересом включаются в диалог по обоснованию причин возникновения ошибки и правильному выполнению действия, что способствует повышению познавательной мотивации.

Применение принципа сравнения предполагает включение некоторого ряда взаимосвязанных заданий, позволяющих подчеркнуть сходство и различие нового и ранее изученного вычислительных приемов. Алгоритм вычислительных приемов дает для сравнения богатейший материал. Сравнивать можно, опираясь на схематическую, математическую модель выполнения действия, на теоретическую основу вычислительного приема и другие его характеристики. В процессе формирования вычислительных навыков скрыты немалые возможности для существенного развития мышления детей путем использования заданий на сравнение, классификацию, подведение под понятие, выведения следствия из факта принадлежности объекта к понятию. Задача учителя - реализовать их в полной мере через совокупность упражнений, предполагающих использование логических приемов мышления.

Принцип вариативности полезно использовать двояко: варьировать формы выполнения вычислительного приема (варьируя модели вычислительного приема, осуществляя переход от одной модели к другой) и видоизменять форму подачи заданий (используя формулировки: вычисли, допиши, прочитай разными способами, сравни, назови вычислительный прием и т. д.).

Принцип непрерывного повторения предполагает включение вновь изученного вычислительного приема в контекст ранее изученного материала. Это могут быть задачи, уравнения, вычисления на нахождение значений величин и другие, ранее изученные понятия.

Следует понимать, что реализация всех этих принципов вовсе не требует большого числа упражнений, разумно подбирать такие задания, выполнение которых предусматривает реализацию сразу нескольких принципов.