Модели потребительского выбора

Пусть потребитель располагает доходом D, который он полностью тратит на приобретение благ (продуктов). Цены благ считаются заданными. Учитывая структуру цен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определенные количества благ. Математическая модель поведения потребителя в такой ситуации называется моделью потребительского выбора[2, 9].

Потребитель решает статическую задачу, то есть в модели не учитываются его межвременные предпочтения и возможности делать или расходовать сбережения.

Рассмотрим модель с двумя видами благ. Такая модель удобна возможностью графической интерпретации, сохраняя при этом все принципиальные свойства общей модели.

Потребительский набор - это вектор (x₁, x₂), координата x₁ которого равна количеству единиц первого блага, а координата x₂ равна количеству единиц второго блага.

Выбор потребителя (индивидуума) характеризуется отношением предпочтения, суть которого состоит в следующем. Считается, что потребитель про каждые 2 набора может сказать, что-либо один из них более желателен, чем другой, либо потребитель не видит между ними разницы. Отношение предпочтения транзитивно, т.е. если набор A = (a₁, a₂), предпочтительнее набора B = (b₁, b₂), а набор B предпочтительнее набора C = (c₁, c₂), то набор A предпочтительнее набора C.

На множестве потребительских наборов (x₁, x₂) определена функция U(x₁,x₂) (называемая функцией полезности потребителя), значение которой на потребительском наборе (x₁, x₂) равно потребительской оценке индивидуума для этого набора.

Потребительскую оценку U(x₁, x₂) набора (x₁, x₂) принято называть уровнем (степенью) удовлетворения потребностей индивидуума, если он приобретает или потребляет данный набор (x₁, x₂). Каждый потребитель имеет свою функцию полезности. Если набор предпочтительнее набора В, то U(A) > U(B).

Функция полезности удовлетворяет следующим свойствам.

1. Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении другого продукта ведет к росту потребительской оценки, т.е. первые частные производные функции полезности по своим аргументам положительны:

, .

Это свойство должно выполняться всегда.

Первые частные производные называютсяпредельными полезностями продуктов: называется предельной полезностью первого продукта, - предельной полезностью второго продукта.

2. Закон убывания предельной полезности: предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объем его потребления растет. Математически это означает отрицательность вторых производных:

3. Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растет количество другого продукта. В этом случае продукт, количество которого фиксировано, оказывается относительно дефицитным. Поэтому дополнительная его единица приобретает большую ценность и может быть потреблена более эффективно.

Примечание: Данное свойство не столь очевидно, как первые два, и справедливо не для всех благ. Если блага могут полностью замещать друг друга в потреблении, то свойство 3 не выполняется. Предположение 3 вводится не всегда, но оно гарантирует выпуклость вниз линий безразличия, т.е.

Линия, соединяющая потребительские наборы (x₁, x₂), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивидуума, называется линией безразличия. Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются.

Если линия безразличия расположена выше и правее ("северо-восточнее") линии безразличия , то D₂ > D₁. Верно и обратное. Иными словами чем "северо-восточнее" расположена линия безразличия, тем большему уровню удовлетворения потребности она соответствует. Линия безразличия убывает (является нисходящей) и строго выпукла к началу координат.

Рассмотрим фиксированную линию безразличия . Пусть потребительский набор . При выполнении ряда естественных предположений (непрерывность первых частных производных , и ) справедлива следующая формула: .

Имеем приближенное равенство .

Следовательно .

Отношение показывает, на сколько должен индивидуум увеличить (уменьшить) потребление второго продукта, если он уменьшил (увеличил) потребление первого продукта на одну единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей (геометрически это означает, что точки принадлежат одной и той же линии безразличия ). Поэтому дробь принято называть нормой замены первого продукта вторым на потребительском наборе (x₁, x₂), а производную (которая равна предельному значению дроби при ) - предельной нормойзамены первого продукта вторым (рис.10.1).

Примером функции полезности может служить функция

,

где

Для нее справедливы свойства 1 и 2 функции полезности. Свойство 3 не выполнено, так как смешанные вторые частные производные функции U(x₁,x₂) равны нулю.

Задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора , который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, т.е. , где и - рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов соответственно, а D - доход индивидуума, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов. Величины , и D заданы.

Формально задача потребительского выбора имеет вид:

;

при условиях ; .

Допустимое множество (множество наборов благ, доступных для потребителя) представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой. На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности.

Поиск этой точки можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии все более высокого уровня полезности (вправо вверх) до тех пор, пока эти линии еще имеют общие точки с допустимым множеством.