Числовые характеристики системы двух случайных величин

Начальным моментом порядка системы называется математическое ожидание произведения на :

Центральным моментом порядка системы называется математическое ожидание произведения -й и s-й степеней соответствующих центрированных величин:

Для дискретных случайных величин начальные и центральные моменты вычисляются, соответственно, по формулам:

;

где - вероятность того, что система примет значения , а суммирование распространяется по всем возможным значениям случайных величин , .

Для непрерывных случайных величин:

; ,

где - плотность распределения системы .

Очевидно, что ; .

Совокупность математических ожиданий и представляет собой характеристику положения центра системы . Геометрически это координаты средней точки на плоскости (центр тяжести), вокруг которой происходит рассеяние всех точек .

Дисперсии величин Х и Y характеризуют рассеяние случайной точки в направлении осей и :

_.

_.

Особую роль как характеристики системы играет второй смешанный центральный момент , т.е. математическое ожидание произведения центрированных величин.

Это ковариационный момент (т.е. момент связи,корреляционный момент) случайных величин , . Для дискретных случайных величин корреляционный момент выражается формулой:

а для непрерывных .

Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая, помимо рассеяния величин и , еще и связь между ними. Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.

Корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеяние. Поэтому для характеристики степени тесноты связи между величинами в чистом виде переходят от момента к безразмерной характеристике , где - средние квадратические отклонения величин и . Эта характеристика называется коэффициентом корреляции величин и .

Две независимые случайные величины всегда являются некоррелированными. Обратное верно не всегда. Равенство нулю коэффициента корреляции (корреляционного момента) есть необходимое, но недостаточное условие независимости случайных величин.

Условие независимости случайных величин - более жесткое, чем условие некоррелированности. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты только линейной зависимости между случайными величинами.

Свойства коэффициента корреляции:

, где - константы;

Минимальное число характеристик, с помощью которых может быть охарактеризована система n случайных величин , сводится к следующему: n математических ожиданий , характеризующих средние значения величин; n дисперсий , характеризующих их рассеяние; корреляционных моментов

, характеризующих попарную корреляцию всех величин, входящих в систему.

Дисперсия каждой из случайных величин есть частный случай корреляционного момента, а именно, корреляционный момент величины и той же величины : .

Все корреляционные моменты и дисперсии удобно располагать в виде симметричной по отношению к главной диагонали квадратной корреляционной матрицы случайных величин :

, где ;

В целях наглядности суждения именно о коррелированности случайных величин безотносительно к их рассеиванию часто пользуются нормированной корреляционной матрицей , составленной из коэффициентов корреляции

; .

Плотность нормального распределения двух случайных величин выражается формулой:

Этот закон зависит от пяти параметров: .

Параметры представляют собой математические ожидания (центры рассеивания) величин и ; - их средние квадратические отклонения; - коэффициент корреляции величин и .

Если и не коррелированы, то

Для системы СВ, подчиненных нормальному закону, из некоррелированности величин вытекает также их независимость.

Термины "некоррелированные" и "независимые" величины для случая нормального распределения эквивалентны.

Условный закон двухмерного нормального распределения:

Очевидно, что последнее выражение есть плотность нормального закона с центром рассеяния и средним квадратическим отклонением

Из последних формул следует, что в условном законе распределения величины при фиксированном от этого значения зависит только условное математическое ожидание , но не дисперсия.

Прямая называется линией регрессии на . Аналогично прямая есть линия регрессии на .