Завдання обертання щодо довільної осі

Обертання щодо довільної осі також можна реалізувати за допомогою множення матриці на вектор, але попередньо цю матрицю треба побудувати. Припустимо, що пряма проходить через початок координат і задана одиничним вектором , і потрібно виконати поворот крапки на кут щодо її. Для цього скористаємося наступним алгоритмом:

1. Сполучимо пряму з віссю за допомогою повороту системи координат щодо осі на кут , а потім повороту щодо осі на кут .

2. Виконаємо поворот щодо осі на кут .

3. Виконаємо повороти системи спочатку щодо осі на кут , а потім щодо осі на кут (у зворотному порядку стосовно перших поворотів), тим самим повертаючи її у вихідне положення.

Підсумкова матриця перетворення, таким чином, є добутком декількох матриць, а саме

Матриці є матрицями перетворення координат при поворотах системи координат, як було показано в попередньому розділі. Визначимо спочатку кут , що є кутом між віссю і його проекцією вектора на площину . Нехай - довжина цієї проекції. Тоді , (синус негативний, оскільки поворот іде від осі до осі , тобто в негативному напрямку). Після повороту системи координат новими координатами вектора будуть . Кут - це кут між векторами й , тому . Тепер ми можемо виписати вид матриць перетворення координат для кожного кроку алгоритму, зважаючи на те, що матриці перетворення координат при повороті системи координат оборотні стосовно відповідних матриць обертання:

Неважко переконатися, що послідовне множення матриць і на вектор дадуть у результаті вектор , тобто цей вектор дійсно стане віссю аплікат.

Залишається тільки виписати остаточний вид матриці (для скорочення запису введемо наступні позначення: ):

(4.13)

Нагадаємо, що є напрямними косинусами прямої, щодо якої виконується поворот. Неважко переконатися, що якщо як осі обертання взяти осі координат, то ми в точності одержимо формули (4.10).

Питання й вправи

1. Дайте визначення декартової системи координат.

2. Що таке вектор?

3. Які вектори вважаються рівними?

4. Які вектори називаються лінійно незалежними?

5. Як виразити довжину вектора, використовуючи операцію скалярного добутку?

6. Як визначити косинус кута між векторами, використовуючи операцію скалярного добутку?

7. Доведіть, що векторний добуток задовольняє співвідношенню

8.

9. Як з довільного вектора одержати одиничний вектор, що збігається з ним по напрямку? (Ця операція називається нормируванням вектора).

10. Яке максимальне число лінійно незалежних векторів у просторі?

11. Що таке орти?

12. Як побудувати параметричне рівняння прямої, що проходить через дві задані крапки площини або простору?

13. Доведіть, що якщо у формулі (4.7) замінити координати координатами будь-якої іншої крапки площини, то рівняння буде описувати ту ж саму площину. Вказівка: візьміть довільну крапку, що задовольняє рівнянню (4.7), напишіть нове рівняння площини й покажіть, що будь-яка крапка другої площини належить першої й навпаки.

14. У яких випадках промінь із площиною не перетинаються?

15. У яких випадках промінь перетинає сферу тільки в одній крапці?

16. Виходячи з визначення множення матриці на вектор, доведіть, що для будь-яких двох векторів і будь-якої матриці справедливе співвідношення

17.

18. Доведіть, що для будь-якого вектора , числа й матриці справедлива співвідношення

19.

20. При якій умові масштабування зберігає кути між відрізками?

21. Яку траєкторію описують крапки об'єкта при повороті?

22. Навколо чого здійснюється поворот на площині?

23. Навколо чого здійснюється поворот у просторі?

24. Які кроки виконуються в алгоритмі повороту щодо довільної осі в просторі?

25. Доведіть, що якщо матриця є матрицею повороту, те .