Задание состояния квантовой частицы. Волновая функция, ее статистический смысл. Условие нормировки. Уравнение Шредингера.

Положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется в квантовой механике заданием волновой функции (пси-функции) Ψ (х, у, z, t). Вероятность dw того, что частица находится в момент времени t в малом объеме dV вблизи точки М (х, у, z), равна:

где — квадрат модуля Ψ-функции: . Здесь —функция, комплексно сопряженная с Ψ. Величина есть плотность вероятности пребывания частицы в данной точке пространства:

(22.4.1)

Интенсивность волны де Бройля определяется величиной .

Из определения Ψ-функции следует условие нормировки вероятностей:

(22.4.2)

где тройной интеграл по объему вычисляется по координатам х, у и z от - до + , т. е, по всему бесконечному пространству. Условие нормировки указывает на то, что пребывание частицы где-либо в пространстве есть достоверное событие и его вероятность должна быть равна единице.

Волновая функция Ψ(х,у,z,t) является основной характеристикой состояния микрообъектов (атомов, молекул, элементарных частиц). С ее помощью вычисляется среднее значение физической величины L, характеризующей объект, находящийся в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ

(22.4.3)

где <L> — среднее значение величины L.

Временным уравнением Шредингера называется основное дифференциальное уравнение квантовой механики относительно волновой функции Ψ(х, у, z, t) (оно не выводится, а является фундаментальным и основано на тех экспериментальных результатах, которые были накоплены при изучении микрообъектов). Временное уравнение определяет Ψ-функцию для микрочастиц, движущихся в силовом поле с потенциальной энергией U(x, у, z, t) со скоростью υ<<с, где с — скорость света в вакууме.

Уравнение Шредингера имеет вид

, (22.4.4)

где Δ — оператор Лапласа , т — масса частицы,

h —постоянная Планка, - мнимая единица.

Уравнение Шредингера дополняется условиями, которые накладываются на Ψ-функцию:

а) функция Ψ должна быть конечной, однозначной и непрерывной;

б) производные должны быть непрерывны;

в) функция должна быть интегрируема, т. е. интеграл должен быть конечным.

В случае, когда функция потенциальной энергии U не зависит от времени ( ) решение временного уравнения Шредингера имеет вид:

причем координатная часть волновой функции Ψ(х, у, z) удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера:

(22.4.5)

где W — энергия частицы.. Функции Ψ, удовлетворяющие уравнению Шредингера при заданном виде U =U{x, у, z), называются собственными функциями. Они существуют лишь при определенных значениях энергии W, называемых собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений W образует энергетический спектр частицы. В зависимости от вида функции U {х, у, z) энергетический спектр частицы может быть дискретным или непрерывным. Отыскание собственных значений и собственных функций составляет важнейшую задачу квантовой механики.

Если частица находится в определенном энергетическом состоянии с энергией W = const, то вероятность dw обнаружить ее в элементе объема dV не зависит от времени:

Такое состояние частицы называется стационарным состоянием. Атом, находящийся в стационарном состоянии, имеет постоянную энергию и не излучает электромагнитные волны.