Степени свободы механизма. Универсальные структурные формулы

Степенью свободы механизма называется независимое перемещение одного или нескольких звеньев его кинематической цепи относительно стойки.

В инженерной практике различают два типа механической системы: механизм и конструкция. Механизм имеет хотя бы одну степень свободы, тогда как конструкция обладает нулевым либо отрицательным числом степеней свободы. При проектировании и изготовлении механизма важно обеспечить требуемое число его степеней свободы; при проектировании и изготовлении жесткой конструкции, напротив, важно не допустить возникновения степеней свободы и превращения конструкции в механизм.

Для определения числа степеней свободы по схемам механизмов существуют так называемые универсальные структурные формулы. Пусть имеется механизм, число звеньев которого равно n и в нем есть кинематические пары всех пяти классов. Так как в механизме всегда есть стойка, то число подвижных звеньев . Наибольшее возможное число степеней свободы такой системы в пространстве составит . Если считать, что связи в кинематических парах – независимые, то общее число связей, ограничивающих перемещение звеньев, выразится равенством:

,

где i – класс кинематической пары, p_i – число кинематических пар, имеющих класс i. Тогда число степеней свободы механизма определится в виде разности:

.

Полученное равенство известно в теории механизмов под названием структурная формула Сомова – Малышева.

Задача 1

Определить число степеней свободы манипулятора, схема которого изображена на рис. 6.

Решение

Манипулятор содержит звена, имеет две вращательные и одну поступательную кинематические пары. Все указанные пары имеют пятый класс, поэтому и . Тогда число степеней свободы манипулятора

.

Задача 2

Определить число степеней свободы плоского шарнирного четырехзвенного механизма (рис. 7,а).

Решение

Механизм содержит четыре звена и четыре вращательные кинематические пары: , , . Число степеней свободы механизма

.

Полученный результат означает, что четырехзвенник с произвольно ориентированными в пространстве осями шарниров является не механизмом, а дважды статически неопределимой конструкцией. Для возникновения одной степени свободы требуется, чтобы три независимые связи в механизме стали повторяющимися (избыточными). Это достигается обеспечением параллельности осей шарниров, т.е. механизм должен быть обязательно плоским.

Для плоских механизмов существует структурная формула Чебышева:

,

где p_H – число низших, p_B – число высших кинематических пар. Решая задачу 2 по формуле Чебышева ( ), получим

.

Существуют плоские механизмы, в которых звенья кинематической цепи движутся только поступательно. Такие механизмы называют клиновыми: наиболее часто они используются в ригельных замках. Схема трехзвенного клинового механизма изображена на рис. 8.

Для определения числа степеней свободы клиновых механизмов используется структурная формула Добровольского:

.

Число степеней свободы механизма (Рис. 8): .