Геометрия Евклида как образец научной теории

Около 300 г. до н.э. Евклид, опираясь на созданный Аристотелем инструментарий[4], построил первую в истории аксиоматически-дедуктивную теорию — евклидову геометрию, — которая до сих пор служит образцом научной теории.

Многие геометрические теоремы, изложенные Евклидом в тринадцати книгах его труда «Начала[5]», были известны и до него. Однако, кто их первым доказал, знают лишь историки математики, а имя Евклида известно любому образованному человеку. Заслуга Евклида в том, что он показал: теоремы геометрии — не беспорядочная груда сокровищ, а стройная конструкция, из которой нельзя удалить и в которую нельзя произвольно добавить ни одного элемента.

Фундамент евклидовой геометрии — это восемь аксиом и пять постулатов. В современном русском языке «аксиома» и «постулат» — практически абсолютные синонимы, то есть в любом контексте означают одно и то же. Евклид же различал их, называя аксиомами утверждения о свойствах равенства и неравенства тех или иных величин, а постулатами — предположения о возможности тех или иных геометрических построений. Например, 1-я аксиома гласит, что «[величины,] равные одному и тому же, равны между собой», а 1-й постулат — что «от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию».

Любую пару аксиом можно использовать как посылки силлогизма. Если аксиомы истинны, то и заключение этого силлогизма — теорема — тоже истинно. Но если полученная теорема истинна, то она, в свою очередь, может стать посылкой следующего силлогизма, который приведет к новой теореме, и так далее. Евклид показал, что в выращиваемое таким образом «дерево теорем» (см. рисунок) входят все известные в то время результаты геометрии. Всего в «Началах» он из своих аксиом вывел 465 теорем.