Проблема выбора постулатов
Следование законам логики гарантирует получение истинных выводов из истинных посылок. Но любая цепочка логических умозаключений должна иметь начало — аксиомы и постулаты, которые не доказываются (иначе это не начало), но истинность которых установлена каким-то иным путем.
Мнения античных мыслителей о методе выбора постулатов разделились. Одни в качестве постулатов принимали положения, которые казались им не вызывающими сомнений. Так, Парменид исходил из казавшегося ему очевидным положения: «Бытие (то-что-существует) есть, а небытия (того-что-не существует) нет». Отсюда он логически безупречно выводил основные свойства бытия: бытие не возникло и не подвержено гибели; бытие не имеет частей, а, следовательно, протяженности; бытие неподвижно; бытие совершенно; бытие конечно, но безгранично.
Другие считали, что постулаты должны отражать первичные абстракции, обладающие самостоятельным существованием. Так, Платон утверждал, что наш мир — лишь искаженная тень мира безупречных идей. По Платону, до рождения душа человека обитает в идеальном мире, поэтому, углубившись в себя, можно «вспомнить» правильные идеи и начать с них цепочку безупречных рассуждений.
Аристотель придерживался кардинально иных представлений об источнике истинного знания. Его известная фраза «Платон мне друг, но истина — больший друг» относится именно к этому спору. Он считал, что постулаты должны выводиться из наблюдений реального мира и отражать его свойства: «…прав тот, кто считает разделенное — разделенным и соединенное — соединенным, а в заблуждении тот, мнение которого противоположно действительным обстоятельствам».
В конечном счете прав оказался Аристотель. Даже постулаты геометрии, как выяснилось уже в XIX веке, истинны лишь постольку, поскольку они соответствуют нашему эмпирическому опыту.
| Рис. 1.4. Пятый постулат Евклида в оригинальной (а) и современной (б) формулировке. |
Действительно, математиков издавна беспокоил пятый постулат евклидовой геометрии. В формулировке самого Евклида он звучал так: «если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых» (рис. 1.4а). Даже в современной формулировке («через данную точку можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной прямой») этот постулат менее очевиден, чем другие, и слишком похож на теорему. Поэтому математики в течение более двух тысяч лет пытались вывести пятый постулат из остальных постулатов и аксиом Евклида.
Лишь в XIX веке К.Ф. Гаусс, Н.И. Лобачевский и Я. Больйяи поняли, что если заменить пятый постулат другими утверждениями (например, что через данную точку нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной прямой, или, напротив, — что таких прямых можно провести сколько угодно), то получатся другие, неевклидовы геометрии, столь же непротиворечивые, сколь и евклидова. Их теоремы звучат странно (например, в неевклидовой геометрии сумма углов треугольника отличается от 180 градусов, а отношение длины окружности к диаметру отличается от p), но чисто математическими средствами решить, какая же из них истинна, нельзя — требуется сравнение выводов теории с реальностью. Понимая это, Гаусс и Лобачевский провели соответствующие наблюдения и измерения (первый — геодезические, второй — астрономические) и установили, что в окрестностях нашей планеты свойства пространства с очень хорошей точностью описываются евклидовой геометрией (п 2.6.3). А в XX веке выяснилось, что в действительности отклонения от евклидовой геометрии возникают вблизи любого массивного тела, но заметной величины они достигают лишь в экстремальных условиях — вблизи «черных дыр» или нейтронных звезд.
Дата добавления: 2015-01-13; просмотров: 1697;