Вопрос 34: Квантовый осциллятор

Линейный (одномерный) гармонический осциллятор – система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы. Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора

, (113)

где т – масса частицы, ω₀ – собственная частота колебаний осциллятора, х – отклонение от положения равновесия. Зависимость (113) имеет вид параболы (рис. 65), т. е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической. Оператор Гамильтона для осциллятора в квантовой теории имеет вид . (114)

Рис. 65

Записав стационарное уравнение Шредингера в операторной форме [см. (104)] и учитывая (114), придем к уравнению Шредингера для гармонического осциллятора

, (115)

где Е – полная энергия осциллятора.

Опуская подробное решение волнового уравнения (115) приведем полученные собственные функции линейного гармонического осциллятора , (116)

где – полином Чебышева-Эрмита n - го порядка: ;

функции (116) нормированы так, что .

Нормированные волновые функции стационарных состояний квантового осциллятора: (n = 0) (117)

(n = 1) (118)

(n = 2) (119)

Анализируя волновые функции (117) – (119), видим, что функция (117) вообще не обращается в нуль (кроме ), функция (118) обращается в нуль при х = 0. Точка, в которой волновая функция обращается в нуль, называется узлом. Функция (119) обращается в нуль при , т. е. имеет два узла. Таким образом, квантовое число определяет число узлов собственной волновой функции.

(п = 0, 1, 2, ...). (120)

Формула (120) показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е. квантуется.

. При т. е. энергетические уровни осциллятора совпадают с величинами квантованной энергии осциллятора, постулируемыми Планком в теории излучения черного тела.

Из формулы (120) вытекает важный результат: минимальная энергия квантового осциллятора , т. е. его энергия не может обращаться в нуль (конечно, при ω₀ ≠ 0), в то время как в классической теории энергия основного состояния – состояния покоя – равна нулю. Существование минимальной энергии (энергия нулевых колебаний) является типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.

Плотность вероятности обнаружить частицу на оси х определяется квадратом модуля волновой функции .