Поверхности

2.7.1. Определение, образование, задание

В математике под поверхностью принято понимать непрерывное множество точек, если между координатами точек этого множества может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x; y; z) = 0, где F(x; y; z) – многочлен n-й степени или в форме какой-либо трансцендентной функции. В первом случае поверхности называют алгебраическими, во втором – трансцендентными.

Одной из общих характеристик поверхности является ее порядок, который может быть определен числом действительных и мнимых точек ее пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей поверхности.

В начертательной геометрии поверхность как объект инженерного исследования может быть задана: множеством точек, уравнением, чертежом и др.

Поверхность можно рассматривать как совокупность последовательных положений некоторой линии a (образующей или производящей), характер которой может либо оставаться неизменным, либо непрерывно меняться по некоторому закону. Этот закон в принципе можно задать любым способом, однако для наглядности изображения поверхности на комплексном чертеже его целесообразно задавать графически в виде семейства линий (направляющих) m, n и l (рис. 129). В ряде случаев закон перемещения линии а может быть задан одной m или двумя m и n направляющими и дополнительными условиями, уточняющими закон перемещения образующей.

В ряде случаев одна и та же поверхность может быть образована различными путями. Например, прямой круговой цилиндр может быть образован вращением прямолинейной образующей вокруг параллельной ей оси, путем поступательного перемещения некоторой окружности (при этом ее центр перемещается вдоль некоторой оси i, а ее плоскость все время остается перпендикулярной этой оси), путем поступательного перемещения сферы вдоль некоторой оси i (при этом центр сферы все время перемещается вдоль оси) и др.

Поэтому во избежание неоднозначности в каждом случае принимают наиболее простой способ. Например,

Определителем поверхности называют совокуп-

Рис. 129 ность условий, необходимых и достаточных для одноз-начного задания поверхности. Определитель содержит в себе некоторые постоянные геометрические элементы и данные соотношений между этими элементами, т.е. закон образования поверхности, который обеспечивает переход от постоянных геометрических элементов поверхности к ее переменным элементам – точкам и линиям в различных положениях на поверхности.

Такой набор графических операций для образования поверхности и их последовательность называют алгоритмомповерхности.

Определитель может быть выражен различным образом, прежде всего, аналитически. Однако, упомянутый способ задания поверхности обладает определенным недостатком - не всегда обеспечивает наглядность на ортогональном чертеже, что затрудняет его чтение. Поэтому на ортогональном чертеже проекции геометрических элементов определителя дополняют очерками поверхностей.

Очеркомповерхности называют след на плоскости проекций проецирующей цилиндрической поверхности, которая огибает заданную поверхность.

Однако аналитическое описание поверхности может быть слишком сложным, а в ряде случаев и просто ненужным, особенно в практических приложениях. В таких случаях в роли определителя поверхности выступает каркас, т.е. минимальное множество принадлежащих точек или линий, позволяющих с достаточной степенью точности построить любую принадлежащую ей точку.

В первом случае мы получаем так называемый точечный каркас. Точечные каркасы имеют ограниченное применение и используются главным образом в строительстве и землеустроительных работах. Для реализации такого каркаса в землю по некоторой сетке забиваются деревянные колья таким образом, чтобы их концы находились на проектной отметке (высоте).

Во втором случае мы получаем так называемый лекальный каркас, который используется более широко.

Так каркас, заданный семейством линий, используется для выполнения штампов при изготовлении поверхности из листового материала. Такой каркас получают при пересечении поверхности семейством параллельных плоскостей, проходящих на одинаковом расстоянии друг от друга. Модель такого каркаса из дерева представлена на рис. 130.

Однако, значительно чаще применяют каркасы, заданные двумя семействами линий. Модель такого каркаса представлена на рис. 131. Она собрана из досок, представляющих собой продольные и поперечные стригера, имеющие пазы для сборки. Если теперь полученный каркас обтянуть каким-либо материалом, то получим соответствующую ему поверхность. Такие каркасы находят широкое применение при изготовлении кузовов автомобилей, в самолетостроении, судостроении, а также в строительстве. Действительно, если такой каркас заполнить строительным материалом, например, бетоном, то получим площадку заданной формы.

Рис. 130 Рис.131

Задание поверхности каркасом носит чисто прикладной характер, поэтому мы этим способом в дальнейшем практически не будем пользоваться.