Расчет оболочек вращения.

При оценке прочности трубопроводов, полых валов, сосудов, корпусов и т.д. элементы конструкций схематизируют в форме тонкостенных оболочек вращения (рис.2.39).

При толщине стенки не свыше 0,10 минимального радиуса ее кривизны с приемлемой для практики точностью принимают, что в стенках от внешней нагрузки (давление жидкости) возникают только нормальные напряжения, постоянные по толщине.

В качестве примера обратимся к сосуду на рис. 2.39, где действует давление p.

Рис.2.39

Оболочка вращения

Двумя продольными сечениями вырежем из стенки бесконечно малый элемент с длиной граней dl. В этих сечениях действуют осевые s_m и окружные (кольцевые) s_q напряжения, т.е. выре-занный элемент находится в плоском напряженном состоянии.

Осевые напряжения создаются осевой силой

N= ppR²=p pD²/4@

@pDds_m,

где R - внутренний радиус сферической части сосуда; D» 2R- средний диаметр цилиндрической части сосуда; d - толщина стенки сосуда.

Из этого уравнения следует

s_m= pD/(4d). (2-159)

Окружные напряжения вызываются силами dF_q= s_qddl, которые должны уравновешивать силу dF_r, обусловленную давлением р, действующим на поверхность элемента

dF_r= p dl².

Составим уравнение равновесия, проецируя силы dF_q и dF_r на направление радиуса в середине элемента 2 dF_qsin(dq/2)- dF_r= 0

или

2s_qddlsin(dq/2)= pdl².

Так как dl= Rdq и sin(dq/2)» dq/2, то

s_q= pR/d= pD/(2d). (2-160)

Поэтому продольные сварные швы в сосудах оказываются более прочными, чем окружные.

Примечание:

1.В сосудах с продольными сварными швами толщину стенки и допустимое давление рекомендуют [2] рассчитывать посредством соотношений

d= pD/(2j_p[s]- p)+ c; [p]= 2j_p[s](d- c)/(D+ d - c)

где j_p- коэффициент прочности сварного шва; с- прибавка, учитывающая коррозионное, технологическое утонения и отицательный допуск.

Диаметральная деформация от внутреннего давления будет

DD= pD²(1- c/2)/(4Ed).

Эти формулы справедливы при выполнении неравенств (d- с)/D£0,3 для D£ 200мм и (d- с)/D£0,1- для D³ 200мм. Причем значения допустимых напряжений рассчитывают с помощью следующих выражений:

а) для проката из углеродистых и легированных сталей

при Т£ 400;450°С- [s]=(s_в²⁰/2,6; s_0,2^t/1,5);

при Т³ 400;450°С- [s]=(s_0,2^t/1,5; s /1,5; s ).

Здесь более высокая температура указана для легированных сталей.

В сосудах всегда имеются крышки, эллиптические, торосферические, плоские… . Наиболее просто рассчитываются плоские крышки и днища:

d_1R = KK_oD_R{p/ (j[s])}^1/2; [p]= [(d₁- c)/(KK_oD_R)]²j[s],

где D_R - расчетный диаметр; K=0,38…0,53- коэффициент, зависящий от конструкции; K_o - коэффициент ослабления (при одном отверстии K_o=[1-d/D_R+ +(d/D_R)²]^1/2.

Расчет остальных крышек производится специальным образом.

2. При гидроиспытаниях теплообменных аппаратов их дефомацию и потребное количество воды можно определить следующим образом. Пусть имеется сосуд с размерами bx hx l и толщиной стенки t , находящийся под давлением Р. Изменение объема металла составит

DV_мет = å (¶ V/ ¶x_i ) Dx_i= bhDl+ blDh+ hbDb.

Для цилиндрической бочки c начальным объемом V₀=pR₀²l

DV_мет= p(2R₀lDR+ R²₀Dl).

Для куба будет

DV_мет= 3l²Dl.

Так как напряжение в стенке куба будет s= Pl²₀/ (4l₀t)= Pl₀/ (4t)

изменение длины Dl= l₀s/ E= Pl²₀/ (4Et), то изменение объема куба

DV_мет= 3Рl² l²₀/ (4Et)= 0,75Pl⁴₀/(Et).

Увеличение объема цилиндрической бочки можно определить из выражения

DV_мет=pR³₀ l(tE)^-1P(1,25- c /8).

Изменение объема жидкости из-за ее сжимаемости составит

DV_мет= V_0жР/B_ж,

где B_ж = 2*10³МПа- модуль упругости жидкости (воды).

Тогда дополнительный объем жидкости, необходимый для создания давления в баке, должен быть

для цилиндрической бочки

V=pR³₀ l(tE)^-1P(1,25- c/8)+ pR²₀ l/B_ж= PpR²₀ l[R₀(tE)^-1(1,25- c/8)+B^-1_ж];

для куба

DV= DV_мет+ DV_ж= 0,75Pl⁴₀/(Et)+ V_0жР/B_ж= PV₀[0,75l₀/(Et)+ B^-1_ж]

Откуда время работы насоса c производительностью Q после заполнения емкости без давления составит T= DV/Q. [сек]