Рівняння теплопровідності циліндричної стінки

Розглянемо передачу тепла теплопровідністю через циліндричну стінку довжиною L, з внутрішнім радіусом r_в і зовнішнім радіусом r_з (рис.1.5).

Рис. 1.5. Передача тепла теплопровідністю через циліндричну стінку

Температури внутрішньої і зовнішньої поверхонь стінки сталі і дорівнюють t_ст1 і t_ст2 відповідно, тобто процес теплообміну встановлений.

Оскільки внутрішня і зовнішня поверхні не є рівними, то рівняння (1.27) в цьому випадку не можна використати. Припустимо, що t_ст1 > t_ст2 і температура змінюється в радіальному напрямку. Для циліндричної стінки її поверхня в деякому перерізі, який відповідає потоковому значенню радіуса r становить F=2·π·r·L.

Підставляючи значення F в рівняння Фур‘є (1.9), знаходимо для одномірного поля

,

і dδ заміняємо на dr.

.

Розділюючи змінні

після інтегрування отримуємо

.

Враховуючи, що ,

(1.29)

де - відношення зовнішнього діаметра циліндричної стінки до її внутрішнього діаметра; L – довжина стінки; t_ст.1 і t_ст.2 – температури внутрішньої і зовнішньої поверхонь стінки, які є сталими.

Рівняння (1.29) показує, що по товщині циліндричної стінки температура змінюється за логарифмічним законом. Це рівняння є рівнянням теплопровідності циліндричної стінки для встановленого процесу теплообміну.

Для циліндричної стінки, що складається з n шарів, кількість тепла, яка передається теплопровідністю становить

(1.29а)

де і – порядковий номер шару стінки.

Рівняння (1.27), (1.29а) для плоскої і циліндричної стінок отримані для стаціонарного (встановленого) процесу перенесення тепла теплопровідністю. Для тонких циліндричних стінок розрахунок може бути спрощений і зводиться до розрахунку плоскої стінки. Таке спрощення може мати місце за умови, що відношення δ/d_в не перевищує 0,3÷0,4, тобто

δ/d_в = 0,3÷0,4