Рівняння теплопровідності плоскої стінки

Розглянемо передачу тепла теплопровідністю через плоску стінку (рис. 1.3.) довжина і ширина якої набагато більші від її товщини; вісь х розміщена за нормаллю до поверхні стінки. На зовнішніх поверхнях стінки підтримуються постійні температури t_ст.1 t_ст.2. Коефіцієнт теплопровідності сталий і дорівнює λ. Процес протікає стаціонарно . Згідно з рис. 1.3. температура змінюється в напрямку до осі х (поле одномірне ; ).

Рис. 1.3. Передача тепла теплопровідністю через плоску стінку

Приймемо t_ст.1 > t_ст.2. Тоді з рівняння теплопровідності (1.18.) отримуємо:

. (1.23а)

Після першого інтегрування отримуємо:

. (1.24)

Після другого інтегрування:

, (1.25.)

де С₁ і С₂ – константи інтегрування.

Рівняння (1.25) показує, що по товщині стінки температура змінюється за законом прямої лінії.

Константа інтегрування визначається з наступних граничних умов:

за х=0, t = t_ст.1 і з рівняння (1.25)

t_ст.1= С₂

за ; t = t_ст.2 і рівняння (1.25) набуває вигляду:

Звідки знайдемо С₁

Підставимо значення констант С₁ і С₂ в рівняння (1.25) та знайдемо: (1.26) після диференціювання рівняння (1.26) отримуємо: Підставимо значення градієнта температури в рівняння теплопровідності (1.9) і визначимо кількість переданого тепла:

або (1.27)

де λ – коефіцієнт теплопровідності матеріалу стінки; δ – товщина стінки; t_ст1 – t_ст2 – різниця температур поверхонь стінки; F – поверхня стінки; τ – час.

Для безперервного процесу рівняння (1.27.) матиме вигляд:

(1.27а)

Рівняння (1.27.) і (1.27а) є відповідно рівняннями теплопровідності плоскої стінки для невстановленого і встановленого процесів теплообміну. Відношення називають тепловою провідністю, а обернену величину - термічним опором стінки. Оскільки коефіцієнт теплопровідності λ залежить від температури, то його необхідно приймати за середньої температури стінки:

Розглянемо передачу тепла через багатошарову стінку (рис. 14.), яка складається. з n шарів, що відрізняються один від одного товщиною і теплопровідністю.