Решение с помощью рядов Тейлора

Предположим, что нами уже найдено приближенное решение уравнения (7.2) для точек x_0, x_1, x_{2, . . . ,} x_m. При этом последовательные значения x_i расположены на расстоянии h друг от друга, т.е. x_i+1 = x_i + h.

Разложим искомую функцию y(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x_m:

,

где - значение j -й производной от функции y(x), вычисленное в точке x = x_m.

Найдем приближенное значение y_m+1 для точки x_m+1, подставив в это разложение вместо x величину x_m+1 :

(7.3)

Чем больше членов этого ряда мы возьмем для вычисления, тем точнее будет решение.

Из (7.2) имеем: . Дифференцируя обе части (7.2) по x и учитывая, что y есть функция от x, получаем:

или для сокращения записи: , где f_x, f_y - частные производные от функции по x и y соответственно.

Тогда выражение (7.3) приобретает вид:

(7.4)

где O(h³) означает, что в следующие (отброшенные) члены ряда значение h входит в степени не ниже третьей.

Таким образом, если для решения уравнения (7.2) будет использована формула (7.4), то погрешность усечения будет приблизительно равна Ch³, где C - некоторая постоянная, не зависящая от h.

Решение дифференциального уравнения данным способом является одноступенчатым, так как для вычисления каждого y_m+1 требуется информация только об одной предыдущей точке (x_m, y_m).

С практической точки зрения трудность использования этого метода заключается в необходимости нахождения и вычисления частных производных f_x, f_y, что в некоторых ситуациях бывает просто невозможно. Кроме того, если попытаться получить лучшее приближение, то необходимо вычислять уже третью производную:

.

Производные более высоких порядков становятся еще более сложными. На практике этот метод не используется, а здесь он приведен как основа для вывода других методов и оценки их погрешностей.