Отделение корней

На данном этапе определяются те интервалы области изменения переменной x, в каждом из которых расположен один и только один корень уравнения (3.1). По сути дела на этом этапе определяются грубые приближения значений x с погрешностью, определяемой длиной каждого найденного интервала. Пол­ностью автоматизировать процесс отде­ле­­ния корней, пожалуй, невозможно, так как в нем обязательно присутствует элемент су­бъ­ективного, интуитивного подхода к решению задачи. Иногда, например, интервал, в котором расположен корень, удается получить из физической сущности решаемой задачи.

При выполнении этого этапа с использованием ЭВМ обычно проводится "табу­лирование" функции F(x, a₁, a₂, ..., a_k), т.е. построение таблицы ее значений при различных значе­ниях x, следующих друг за другом с некоторым шагом h:

где x_i+1 = x_i + h ; F_i = F(x_i); i = 1,2,...,n-1.

Например, таблица значений функции x² - 12 ln½x½ + 6 sin xна промежутке [1,10] c шагом h = 1 имеет вид:

В качестве границ искомых интервалов выбираются такие соседние значения x, в которых соответствующие значения F(x) имеют разные знаки, так как изменение знака функции на некотором интервале означает в силу ее непрерывности, что где-то в пределах этого интервала график функции пересекает ось абсцисс, т.е. уравнение F(x) = 0 име­ет корень. В частности, на основании данных из приведенной выше таблицы можно сде­лать вывод, что уравнение x² - 12 ln½x½ + 6 sin x = 0 на промежутке [1,10] имеет по край­ней мере два корня: в интервале (2,3) и в интервале (5,6).

Рис.3.1. Алгоритм отделения корней табулированием функции

При выполнении этого этапа нужно проявлять определенную осторожность: во-пеpвых, оди­наковые знаки функции F на концах интервала (x_i, x_i+1) не означают, что на этом интервале нет корней - их может быть, например, два; во-втоpых, при разных знаках на концах интервала здесь может оказаться не один корень, а три или, например, пять.

В приводимой на рис.3.1 схеме алгоритма отделения корней использованы следующие обозначения:

x_Н, x_К - соответственно левая и правая границы промежутка табулирования функции F(x);

x - текущая точка табулирования;

;

В₀, В₁ - знаки функции F(x) соответственно в пре­дыдущей и текущей точках табулирования.

В соответствии с данной блок-схемой производится не просто табулирование функции, а, кроме то­­го, анализ знака функции в каждой новой точке и вывод сообщения при его изменении.