Свободные затухающие колебания. Добротность колебательного контура

Всякий реальный колебательный контур обладает сопротивлением (рис.4.3). Энергия электрических колебаний в таком контуре постепенно расходуется на нагревание сопротивления, переходя в джоулево тепло, вследствие чего колебания затухают.

Уравнение свободных затухающих колебаний можно получить, исходя из того, что в отсутствии внешнего источника напряжения, сумма падений напряжений на индуктивности, емкости и сопротивлении равна нулю для любого момента времени:

или, поскольку ,

.

Введя обозначение

,

этому уравнению можно придать вид:

,

где .

Решение полученного уравнения имеет вид:

где

Мы видим, что частота свободных затухающих колебаний ω^′ меньше собственной частоты ω₀. Подставив значения ω₀ и β, получим:

Амплитуда затухающих колебаний заряда конденсатора q₀(t) уменьшается со временем по экспоненциальному закону (рис.4.4). Коэффициент β называется коэффициентом затухания.

Затухание колебаний принято характеризовать декрементом колебаний λ, определяемым как:

.

Легко видеть, что декремент колебаний обратен по величине числу колебаний N_e, совершаемых за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в ераз: λ=1/N_e. Добротностью колебательного контура называется величина:

Из этой формулы видно, что добротность тем выше, чем меньше коэффициент затухания β. При малых затуханиях (λ<<1) можно приближенно считать, что

.

Амплитуда тока в контуре, как и заряд на конденсаторе, убывает со временем по закону . Энергия W, запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды тока (или квадрату напряжения на конденсаторе). Следовательно, Wубываетсо временем по закону e^-2βt. Относительное уменьшение энергии за период колебания Т(при малом затухании) есть:

.