Примеры решения задач. Задача 1.Виток, по которому течет ток I=20А, свободно установился в однородном магнитном поле В = 16 мТл
Задача 1.Виток, по которому течет ток I=20А, свободно установился в однородном магнитном поле В = 16 мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно повернуть виток на угол α = относительно оси, совпадающей с диаметром?
Решение: При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре неизменным. Работа сил в этом случае определяется выражением
А = I(Φ2 - Φ1).
где Φ1 и Φ2 – магнитные потоки, пронизывающие контур в начальном и конечном положениях.
Работа внешних сил будет равна по модулю работе сил поля и противоположна ей по знаку, т.е.
Авн = I(Φ1 – Φ2).
Так как в начальном положении контур установился свободно (положение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действующий на контур, равен нулю. В этом положении вектор магнитного момента контура сонаправлен с вектором (рис. 3.7 а) и магнитный поток Φ1 максимален (α=0, cosα = 1), т.е. Φ1=BS (где S – площадь контура). В конечном положении (рис. 3.7 б) вектор перпендикулярен вектору ( , ) и
О |
I |
a |
О |
I |
б |
Рисунок 3.7 – К задаче 1 |
магнитный поток Φ2 = 0. Перепишем выражение работы внешних сил Авн с учетом сделанных замечаний:
Так как площадь контура , то работа
Задача 2.В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая N = 1000 витков, с частотой . Площадь S рамки равна 150 см2. Определить мгновенное значение ЭДС , соответствующее углу поворота рамки 300.
Решение: мгновенное значение ЭДС индукции определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла:
(1) |
Потокосцепление ψ = NΦ, где N–число витков, пронизываемых магнитным потоком Φ. Подставив выражение ψ в формулу (1), получим:
(2) |
При вращении рамки магнитный поток Φ, пронизывающий рамку в момент времени t, изменяется по закону где B–магнитная индукция; S–площадь рамки; ω–циклическая частота. Подставив в формулу (2) выражение Φ и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:
(3) |
Циклическая частота ω связана с частотой n вращения соотношением Подставив выражение ω в формулу (3), получим
Задача 3.В магнитном поле с индукцией В = 10-2 Тл вращается стержень длиной l = 0,2 м с постоянной угловой скоростью ω = 100 с-1. Найдите ЭДС индукции, возникающую в стержне, если ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям индукции магнитного поля.
Решение: Согласно закону электромагнитной индукции на концах стержня возникает постоянная разность потенциалов, равная
где – магнитный поток, проходящий через поверхность, описываемую стержнем за время
При вращении стержня под прямым углом к линиям индукции магнитного поля где – площадь сектора, описываемого стержнем.
За время стержень поворачивается на угол , и площадь сектора равна так как
Следовательно, изменение магнитного потока равно
и
Задача 4.По соленоиду течет ток I = 2 А. магнитный поток Φ, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4∙10-6 Вб. Определить индуктивность L соленоида, если он имеет N = 800 витков.
Решение: Индуктивность L соленоида связана с потокосцеплением ψ соотношением ψ = LI, откуда L = ψ/I. Заменив здесь потокосцепление ψ его выражением через магнитный поток Φ и число витков N соленоида (ψ = ΦN), получим
Задача 5.При скорости изменения силы тока ΔI/Δtв соленоиде, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндукции = 0,08 В. Определить индуктивность L соленоида.
Решение: Индуктивность соленоида связана с ЭДС самоиндукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотношением
Вынося постоянную величину L за знак приращения, получим
Опустив знак минус в этом равенстве (направление ЭДС в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину - индуктивность, получим
Задача 6.Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметром d = 0,2 мм. Диаметр D соленоида равен 5 см. по соленоиду течет ток I = 1 А. Определить количество электричества Q, протекающее через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.
Решение: Возможны два способа решения.
1-й способ. Количество электричества dQ, которое протекает по проводнику за время dt при силе тока I, определяется равенством
(4) |
Полное количество электричества, протекающее через проводник за время t, будет . Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой
. |
Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку:
(5) |
2-й способ. Подставив в формулу (4) вместо силы тока I выражение ее через ЭДС индукции и сопротивление R соленоида, т.е. I = , найдем .
Но сязана со скоростью изменения потокосцепления ψ по закону Фарадея-Максвелла: тогда
Интегрируя, получаем
(6) |
Потокосцепление ψ пропорционально силе тока в соленоиде. Следовательно, ; ψ2 = 0, так как ψ2 соответствует тому моменту, когда ток в цепи обратится в нуль. Подставив выражения ψ1 и ψ2в формулу (6), получим Q = ψ1/R, или
что совпадает с формулой (5).
Для определения заряда, протекающего через обмотку соленоида, следует найти индуктивность L соленоида и сопротиивление R обмотки соленоида, которые выражаются формулами
где -магнитная постоянная; N – число витков; l1–длина соленоида; S1–площадь сечения соленоида; – удельное сопротивление провода; l–длина провода; S – площадь сечения провода; d–диаметр провода; d1–диаметр соленоида.
Подставив найденные выражения L и R в формулу (5), получим
(6) |
Заметим, что длина провода l может быть выражена через диаметр d1, соленоида соотношением l = πd1N, где N – число витков, тогда формуле (6) можно придать вид
Но l1/N есть диаметр провода, так как витки плотно прилегают друг к другу. Следовательно,
Вывод: Очень важно при анализе задач учитывать всю совокупность явлений, связанных с возникновением тока индукции, его взаимодействием с магнитным полем и влиянием на условия, вызвавшие его появление.
Контрольные вопросы второго уровня (сборник задач)
1. Катушка, имеющая 100 витков площадью 5 см2, помещена в однородное магнитное поле так, что плоскость витков перпендикулярна вектору индукции. Концы провода катушки подсоединены к обкладкам плоского конденсатора емкостью 4 мкФ. Какой заряд окажется на обкладках этого конденсатора, если магнитное поле будет убывать со скоростью 20 Тл/с? [4 мкКл]
2. Индукция магнитного поля, перпендикулярного витку диаметром 22 см, изменяется от -0,40 до +0,55 Тл за 80 мс, причем плюс означает, что поле направлено от наблюдателя, минус - к наблюдателю. Рассчитайте ЭДС индукции. Определите, в каком направлении течет индукционный ток. [0,45 В]
3. Квадратная рамка со стороной 6,8 мм, сделанная из медной проволоки с площадью поперечного сечения 1 мм2, помещена в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Индукция магнитного поля равномерно изменяется на 2 Тл за 0,1 с. Чему равна при этом сила тока в рамке? [2 А]
4. Замкнутый провод изогнут в виде восьмерки и помещен в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Считая петли восьмерки окружностями радиусами 3 см и 7 см, найдите силу тока, который будет протекать по проводу при убывании магнитного поля со скоростью 3 мТл/с. Сопротивление единицы длины провода 2 Ом/м. [30 мкА]
5. Замкнутая круглая катушка из 100 витков помещена в однородное магнитное поле, параллельное ее оси. При изменении магнитной индукции на 0,2 Тл через катушку проходит заряд 40 мкКл. Чему равен радиус катушки, если сопротивление единицы длины провода 0,1 Ом/м? [ ]
6. Квадратный виток со стороной 21,0 см поворачивается на 360° в магнитном поле с индукцией Вза 45 с. Чему равно среднее значение В, если ЭДС индукции в среднем составляет 180 мВ? [0,14 Тл]
7. В однородном магнитном поле находится обмотка, состоящая из 1000 витков квадратной формы. Направление линий поля перпендикулярно плоскости витков. Индукция поля изменяется на 2∙10-2 Тл за 0,1 с, в результате чего в обмотке выделяется 0,1 Дж тепла. Площадь поперечного сечения проводов обмотки 1 мм2, их удельное сопротивление 10-8 Ом∙м. Определите сторону квадрата. [34 мм]
8. Квадрат из проволоки сопротивлением 5 Ом поместили в однородное магнитное поле с индукцией 0,2 Тл перпендикулярно линиям индукции, затем, не вынимая проволоку из поля и не меняя ее ориентации, деформировали ее в прямоугольник с отношением сторон 1:3. При этом по контуру прошел заряд 4 мкКл. Какова длина проволоки? [0,8 м]
9. Радиус эластичного витка увеличивается с постоянной скоростью 46 см/с. Виток находится в магнитном поле с индукцией 0,24 Тл, перпендикулярном плоскости витка. В начальный момент времени площадь витка была равна 0,285 м2. Определите ЭДС индукции в момент времени t = 2 с. [0,85 В]
10. Медное кольцо радиусом 5 см помещают в однородное магнитное поле с индукцией 8 мТл перпендикулярно линиям индукции. Какой заряд пройдет по кольцу, если его повернуть на 180° вокруг оси, совпадающей с его диаметром? Площадь сечения проводника 1 мм2. [24 мКл]
11. Плоский виток провода расположен перпендикулярно однородному магнитному полю. Когда виток повернули на 180°, по нему прошел заряд 7,2 мкКл. На какой угол надо повернуть виток, чтобы по нему прошел заряд 1,8 мкКл ? [60°]
12. Круглая рамка вращается в однородном магнитном поле вокруг оси, проходящей через ее диаметр и перпендикулярно вектору индукции. Найдите максимальную величину ЭДС индукции, возникающей в рамке, если площадь рамки 0,2 м2, угловая скорость вращения 50 рад/с, а индукция магнитного поля 0,1 Тл. [1 В]
13. Максимальная ЭДС индукции, возникающая в прямоугольной рамке, вращающейся в однородном магнитном поле, равна 3 В. С какой угловой скоростью вращается рамка, если максимальный магнитный поток через рамку 0,05 Вб? Ось вращения рамки проходит через середины ее противоположных сторон и перпендикулярна линиям индукции поля. [60 рад/с)
14. Чему равна максимальная ЭДС, которая может возникнуть при движении самолета со скоростью 900 км/ч, если размах его крыльев 20 м? Горизонтальная составляющая магнитного поля Земли 0,03 мТл, вертикальная составляющая 0,04 мТл. [0,25 В]
15. Сторона прямоугольного каркаса, имеющая длину 10 см, скользит со скоростью 1 м/с по двум другим сторонам, оставаясь с ними в электрическом контакте. Плоскость прямоугольника перпендикулярна линиям индукции однородного магнитного поля 0,01 Тл. Найдите силу тока в прямоугольнике через 0,9 с после начала движения. Сопротивление единицы длины проводника 1 Ом/м. В начальный момент площадь прямоугольника равна нулю. [0,5 мА]
16. По П-образной рамке, наклоненной под углом 30° к горизонту и помещенной в однородное вертикальное магнитное поле, начинает соскальзывать без трения перемычка массой 30 г. Длина перемычки 10 см, ее сопротивление 1 мОм, индукция поля 0,1 Тл. Найдите установившуюся скорость движения перемычки. Сопротивлением рамки пренебречь. [2 см/с]
17. Рамка площадью 200 см2 равномерно вращается (n = 15 об/с) относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля. Среднее значение ЭДС индукции за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку, изменится от нуля до максимального значения, составляет 0,12 В. Найдите значение магнитной индукции. [0,1 Тл]
18. Магнитный поток через площадь контура, создаваемый током 10 А, текущим по контуру, равен 0,9 мВб. Определите ЭДС самоиндукции, возникающую в контуре при равномерном убывании силы тока до 5 А за 1 мс. [0,45 В]
19. На катушке с сопротивлением 10 Ом поддерживается напряжение 50 В. Чему равна энергия магнитного поля, запасенная в катушке, если ее индуктивность 20 мГн? [0,25 Дж]
20. Индуктивность катушки 2 мГн. Ток частотой 50 Гц, протекающий по катушке, изменяется по синусоидальному закону. Чему равно среднее значение ЭДС самоиндукции, возникающей за интервал времени, в течение которого ток в катушке изменяется от минимального до максимального значения? Амплитудное значение силы тока 10 А. [40 мВ]
21. Индуктивность соленоида, намотанного в один слой на немагнитный каркас, 1,6 мГн. Длина соленоида 1 м, сечение 20 см2. Сколько витков приходится на каждый сантиметр длины соленоида? [80 витков/см]
22. Чему равен диаметр проволоки, намотанной на картонный цилиндр диаметром 2 см, если индуктивность получившейся однослойной катушки равна 1 мГн? Витки вплотную прилегают друг к другу, число витков n = 1000. Толщиной изоляции пренебречь. [0,4 мм]
23. В однородном магнитном поле с индукцией 0,01 Тл находится прямой проводник длиной 8 см, расположенный перпендикулярно к линиям индукции. По проводнику течет ток 2 А, величина которого поддерживается неизменной. Под действием сил поля проводник переместился на некоторое расстояние, при этом была совершена работа 80 мкДж. Найдите расстояние, на которое переместился проводник. [5 см]
24. Плоский контур площадью 200 см2 находится в однородном магнитом поле с индукцией 0,01 Тл. Плоскость контура перпендикулярна линиям поля. В контуре поддерживается неизменный ток силой 5 А. Определите работу внешних сил по перемещению контура с током в область пространства, магнитное поле в которой отсутствует. [ 1 мДж]
25. Прямоугольный контур площадью 150 см2 с током 4 А, на который действует только однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл, занял положение устойчивого равновесия. Какую после этого надо совершить работу, чтобы медленно повернуть его на 90° вокруг оси, проходящей через середины противоположных сторон? [6 мДж]
26. Соленоид индуктивностью L = 4∙10-3 Гн содержит N = 600 витков. Определить магнитный поток Ф, если сила тока I, протекающего по обмотке, равна 12 А. [80 мкВб]
27. Обмотка соленоида с железным сердечником содержит N = 500 витков. Длина lсердечника равна 50 см. Как и во сколько раз изменится индуктивность L соленоида, если сила тока, протекающего по обмотке, возрастет от I1 = 0,1 А до I2 = 1 А. [Уменьшится в 5,8 раза]
28. Две катушки расположены на небольшом расстоянии одна от другой. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быстротой ΔI/Δt = 5 А/с, во второй катушке возникает ЭДС индукции = 0,1 В. Определить коэффициент взаимной индукции катушек. [20 мГн]
29. В цепи шел ток I0 = 50 А. Источник тока можно отключить от цепи, не разрывая ее. Определить силу тока I в этой цепи через время t = 0,01 с после отключения ее от источника тока. Сопротивление R цепи равно 20 Ом, ее индуктивность L = 0,1 Гн. [6,75 A]
30. Источник тока замкнули на катушку с сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L = 1 Гн. Через какое время сила тока замыкания достигнет 0,9 предельного значения? [0,23 с]
Контрольные вопросы третьего уровня (тесты)
1. На рисунке представлена зависимость магнитного потока, пронизывающего некоторый замкнутый контур, от времени. ЭДС индукции в контуре не возникает в интервале... | ||||||||||||||||||||||
1. | E | 2. | B | 3. | C | 4. | A | 5. | D | |||||||||||||
2. На рисунке показан длинный проводник с током, около которого находится небольшая проводящая рамка. При движении рамки параллельно проводнику со скоростью V, в рамке... | ||||||||||||||||||||||
1. | Индукционного тока не возникнет | |||||||||||||||||||||
2. | Возникнет индукционный ток в направлении 1-2-3-4 | |||||||||||||||||||||
3. | Возникнет индукционный ток в направлении 4-3-2-1 | |||||||||||||||||||||
3. На рисунке показан длинный проводник с током, около которого находится небольшая проводящая рамка. При движении рамки от проводника со скоростью V, в рамке... |
| |||||||||||||||||||||
1. | Индукционного тока не возникнет | |||||||||||||||||||||
2. | Возникнет индукционный ток в направлении 1-2-3-4 | |||||||||||||||||||||
3. | Возникнет индукционный ток в направлении 4-3-2-1 | |||||||||||||||||||||
4. На рисунке показан длинный проводник с током, около которого находится небольшая проводящая рамка. При движении рамки от проводника со скоростью V, в рамке... |
| |||||||||||||||||||||
1. | Возникнет индукционный ток в направлении 1-2-3-4 | |||||||||||||||||||||
2. | Возникнет индукционный ток в направлении 4-3-2-1 | |||||||||||||||||||||
3. | Индукционного тока не возникнет | |||||||||||||||||||||
5. Сила тока, протекающего в катушке, изменяется по закону I = 5sin100t. Если индуктивность катушки L = 100 мГн, то максимальное значение ЭДС самоиндукции, наведенное на концах катушки равно... | ||||||||||||||||||||||
1. | 0,5 В | 2. | 5 мВ | 3. | 50 В | 4. | 5 В | |||||||||||||||
6. Контур площадью S = 10-2 м2 расположен перпендикулярно к линиям магнитной индукции. Магнитная индукция изменяется по закону В= (2 + 5t2) 10-2 . Модуль ЭДС индукции, возникающей в контуре в конце пятой секунды, равен... | ||||||||||||||||||||||
1. | 50 мВ | 2. | 12,7 мВ | 3. | 25 мВ | 4. | 5мВ | |||||||||||||||
7. На рисунке показана зависимость силы тока от времени в электрической цепи с индуктивностью 1 мГн. Модуль среднего значения ЭДС самоиндукции в интервале от 15 до 20 с равен... | ||||||||||||||||||||||
1. | 10 мкВ | 2. | 3. | 20 мкВ | 4. | 4 мкВ | ||||||||||||||||
8. Сила тока, протекающего в катушке, изменяется по закону I = 5sin100t . Если индуктивность катушки L = 100 мГн, то магнитный поток, пронизывающий катушку, изменяется по закону... | ||||||||||||||||||||||
1. | Ф = 50 cos 100t | 2. | Ф = 0,5 sin 100t | |||||||||||||||||||
3. | Ф = ‑0,5 cos 100t | 4. | Ф = 50 sin 100t | |||||||||||||||||||
9. На рисунке показана зависимость силы тока от времени в электрической цепи с индуктивностью 1 мГн. Модуль среднего значения ЭДС самоиндукции в интервале от 5 до 10 с равен... | ||||||||||||||||||||||
1. | 20 мкВ | 2. | 10 мкВ | 3. | 0 мкВ | 4. | 2 мкВ | |||||||||||||||
10. Сила тока, протекающего в катушке, изменяется по закону I = 5 sin 10p t. Если индуктивность катушки L = 0,2 Гн, то мгновенное значение ЭДС самоиндукции, наведенное на концах катушки в момент времени t= 0,05 с равно... | ||||||||||||||||||||||
1. | 10 В | 2. | -10 В | 3. | 4. | 0,2 В | ||||||||||||||||
11. Индуктивность контура зависит от ... | ||||||||||||||||||||||
1. | Скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром | |||||||||||||||||||||
2. | Формы и размеров контура, магнитной проницаемости среды | |||||||||||||||||||||
3. | Материала, из которого изготовлен контур | |||||||||||||||||||||
4. | Силы тока, протекающего в контуре | |||||||||||||||||||||
12. На рисунке представлена электрическая схема, составленная из источника тока, катушки, резистора и трех ламп. После замыкания ключа Кпозже всех остальных загорится лампа номер ... | ||||||||||||||||||||||
1. | 2. | 3. | ||||||||||||||||||||
13. По параллельным металлическим проводникам, расположенным в однородном магнитном поле, с постоянной скоростью перемещается перемычка. Зависимости индукционного тока от времени соответствует график ... | ||||||||||||||||||||||
1. | 2. | 3. | 4. |
| ||||||||||||||||||
14. Проводник в форме кольца помещен в однородное магнитное поле, как показано на рисунке. Индукция магнитного поля уменьшается со временем. Индукционный ток в проводнике направлен … | ||||||||||||||||||||||
1. | Против часовой стрелки | |||||||||||||||||||||
2. | Для однозначного ответа недостаточно данных | |||||||||||||||||||||
3. | По часовой стрелке | |||||||||||||||||||||
4. | Ток в кольце не возникает | |||||||||||||||||||||
15. Какая формула определяет величину магнитного потока через поверхность S? 1. 2. 3. 4. 5. | ||||||||||||||||||||||
16.Как записывается теорема Гаусса для вектора индукции магнитного поля?
1. 2. 3. 4. 5.
Дата добавления: 2015-02-13; просмотров: 7468;