Примеры решения задач. Задача 1.В колебательном контуре с индуктивностью и емкостью конденсатор заряжен до максимального напряжения

Задача 1.В колебательном контуре с индуктивностью и емкостью конденсатор заряжен до максимального напряжения . Каким будет ток в контуре в тот момент, когда напряжение на конденсаторе уменьшится в два раза? Колебания считать незатухающими.

Решение: В отсутствии затухания суммарная энергия электрического и магнитного полей в контуре сохраняется. Следовательно, в каждый момент времени справедливо равенство:

откуда

По условию задачи . Ток в контуре в этот момент времени равен: .

Задача 2.В колебательном контуре конденсатору с емкостью сообщили заряд , после чего возникли затухающие электромагнитные колебания. Сколько тепла выделится к моменту, когда максимальное напряжение на конденсаторе станет меньше максимального напряжения в раза?

Решение: Количество выделившегося тепла равно разности между начальными и конечными значениями энергии в контуре. В моменты, когда напряжение на конденсаторе максимально, ток через катушку равен нулю. Следовательно, энергия в эти моменты сосредоточена в конденсаторе. Имеем:

Учитывая, что и в интересующий нас момент времени получаем ответ:

.

Задача 3. Катушка индуктивностью с сопротивлением обмотки и конденсатора емкостью подключены параллельно к источнику ЭДС и внутренним сопротивлением . Какое количество тепла выделится в контуре после отключения источника?

Напряжение на конденсаторе, равное напряжению на катушке, будет:

Суммарная энергия заряженного конденсатора и катушки с током:

После отключения источника в контуре, состоящем из катушки и конденсатора, возникнут затухающие электромагнитные колебания, в результате которых вся начальная энергия перейдет в тепло:

Задача 4.Конденсатор емкостью , заряженный до напряжения , подсоединяют катушку индуктивности . Чему равна величина тока через катушку спустя время после подключения конденсатора? Сопротивлением катушки и соединительных проводов пренебречь.

Решение: При подключении заряженного конденсатора к катушке в образовавшемся контуре возникают электрические колебания с частотой . При этом заряд на конденсаторе меняется во времени по закону:

где - начальный заряд на конденсаторе. Поскольку сопротивление катушки и соединительных проводов пренебрежимо мало, суммарная энергия электрического и магнитного поля в контуре сохраняется. Из закона сохранения энергии следует, что:

Выражая отсюда ток через катушку, имеем:

Величина тока в момент времени равна:

Задача 5.Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и четырех конденсаторов, соединенных как показано на рисунке. Во сколько раз изменится период собственных колебаний в контуре, если замкнуть ключ, соединяющий точки А и ?

где - емкости батареи конденсаторов в этих двух случаях соответственно. Расчет по стандартным формулам дает:

при разомкнутом ключе,

при замкнутом ключе.

Отсюда получаем ответ:

Задача 6.В цепи, показанной на рисунке, конденсатор емкостью вначале заряжен до напряжения а конденсатор емкостью разряжен. До какого максимального значения может зарядиться конденсатор в процессе колебаний, возникающих в цепи после замыкания ключа? Потерями в соединительных проводах и в катушке индуктивности пренебречь.

Отсюда . Учитывая, что , получаем ответ:

.

Вывод: При решении задач следует уделять внимание как общим закономерностям, присущим колебательным процессам, так и физической сущности явлений, происходящих в электрическом колебательном контуре.