Метод отображения. Метод комфорного отображения источников и стоков

При разработке нефтяных и газовых месторождений (НГМ) возникает два вида задач:

1. Задаётся дебит скважин и требуется определить необходимое для этого дебита забойное давление и, кроме того, давление в любой точке пласта. В данном случае величина дебита определяется значением предельной для имеющихся коллекторов депрессией, при которой ещё не наступает их разрушение, или прочностными характеристиками скважинного оборудования, или физическим смыслом. Последнее означает, например, невозможность установления нулевого или отрицательного забойного давления.

2. Задаётся забойное давление и требуется определить дебит. Последний вид условия встречается наиболее часто в практике разработки НГМ. Величина забойного давления определяется условиями эксплуатации. Например, давление должно быть больше давления насыщения для предотвращения дегазации нефти в пласте или выпадения конденсата при разработке газоконденсатных месторождений, что снижает продуктивные свойства скважин. Наконец, если возможен вынос песка из пласта на забой скважины, то скорость фильтрации на стенке скважины должна быть меньше некоторой предельной величины.

Рис. 6.1. Зависимость суммарного дебита от числа скважин

Замечено, что при эксплуатации группы скважин в одинаковых условиях, т.е. с одинаковым забойным давлением, дебит всего месторождения растёт медленнее увеличения числа новых скважин с теми же забойными условиями (рис.6.1). Увеличение дебита при этом требует понижения забойного давления.

Для решения поставленных задач решим задачу плоской интерференции (наложения) скважин. Предположим, что пласт - неограниченный, горизонтальный, имеет постоянную мощность и непроницаемые подошву и кровлю. Пласт вскрыт множеством совершенных скважин и заполнен однородной жидкостью или газом. Движение жидкости - установившееся, подчиняется закону Дарси и является плоским. Плоское движение означает, что течение происходит в плоскостях, параллельных между собой и картина движения во всех плоскостях идентична. В связи с этим разбирается течение в одной из этих плоскостей - в основной плоскости течения.

Решение задач будем строить на принципе суперпозиции (наложения) потоков. Основанный на этом принципе метод суперпозиции заключается в следующем.

Рис.6.2. Схема скоростей фильтрации в точке М при работе источников и стоков на неогрниченной плоскости (а) и результирущий вектор скорости фильтрации в точке М(b)

При совместном действии в пласте нескольких стоков (эксплуатационных скважин) или источников (нагнетательных скважин) потенциальная функция, определяемая каждым стоком (источником), вычисляется по формуле для единственного стока (источника). Потенциальная функция, обусловленная всеми стоками (источниками), вычисляется путём алгебраического сложения этих независимых друг от друга значений потенциальной функции. Суммарная скорость фильтрации определяется как векторная сумма скоростей фильтрации, вызванная работой каждой скважины (рис.6.2b).

Пусть в неограниченном пласте действует n стоков с положительным массовым дебитом G и источников с отрицательным дебитом (рис. 6.2a).. Поток в окрестности каждой скважины в этом случае плоскорадиален и потенциал

, (6.1)

где i - номер скважины; ri - расстояние между некоторой точкой пласта М и центром скважины под номером i.

Пользуясь методом суперпозиции, определим потенциал сложного потока

, (6.2)

где

.

Зависимость (6.2) физически означает, что фильтрационные потоки от работы каждого источника-стока накладываются друг на друга. Т.к. пласт предполагается неограниченным, то потенциал на бесконечности равен бесконечности. В центрах стоков-источников (ri=0) потенциал также равен бесконечности.

Если жидкость несжимаема, то вместо массовых дебитов можно использовать объёмные дебиты Q в зависимости (6.2).

Для определения уравнений эквипотенциальных поверхностей (изобар) следует иметь в виду, что во всех точках этих кривых значение потенциала (давления) должно оставаться неизменным. Т.о. приравнивая (6.2) к некоторой постоянной получим

, (6.3)

где П - знак произведения; С1 - постоянная.

Если дебиты всех скважин равны по величине, то

, (6.4)

Линии тока образуют семейство кривых, ортогональных изобарам.

Метод суперпозиции можно использовать не только в бесконечных пластах, но и в пластах, имеющих контур питания или непроницаемую границу произвольной формы. В этом случае для выполнения тех или иных условий на границах вводятся фиктивные стоки или источники за пределами пласта. Фиктивные скважины в совокупности с реальными обеспечивают необходимые условия на границах и задача сводится к рассмотрению одновременной работы реальных и фиктивных скважин в неограниченном пласте. Данный метод называется методом отображения источников и стоков.

Рассмотрим решение задачи об обтекании контура произвольной формы (рис. 6.3). Плоскость, в которой расположен контур l, выберем за плоскость комплексного переменного z=x+iy. Одновременно с плоскостью z рассмотрим плоскость ζ = ζ + iη и в ней круг радиуса R. Область плоскости z вне контура l обозначим через D, область плоскости ζ вне окружности радиуса R обозначим через

Рис. 6.3.

По теореме Римана о конформном отображении существует аналитическая функция z=f(ζ) которая преобразует область в область D таким образом, что точки контура переходят в точки l и любая наперед заданная точка переходит в заданную точку A . Эта функция будет единственной, если в точке задан arg Воспользуемся этой теоремой, выбрав в качестве точек А и бесконечно далекие точки плоскостей z и положим при этом =0. Это значит, что мы берем такую функцию z=f( ) которая преобразует бесконечно далекую точку плоскости в бесконечно далекую точку плоскости z и не меняет направлений в этой точке. Для этой функции в бесконечно далекой точке производная есть вещественное положительное число, т. е. =k .

На основании теоремы Римана существует и обратное преобразование = F(z).

Предположим, что нам известны функции

(6.5)

Будем рассматривать задачу об обтекании контура I потенциальным потоком, скорость которого на бесконечности задана:

Пусть ω(z) — комплексный потенциал, соответствующий этому течению. В ω(z) заменим z его выражением (7.5) через :

( 6.6)

Так как функция ω(z) определена во всех точках области D вне l, то определена в точках вне . Аналитическую функцию W( ) можно рассматривать как комплексный потенциал некоторого течения в плоскости Каждому течению в плоскости z можно поставить в соответствие течение в плоскости комплексный потенциал которого получается по формуле (6.6). Найдем это течение. Положим

(6.7)

В соответствующих точках плоскостей z и имеет место равенство (6.6), т. е.

(6.8)

Следовательно, в соответствующих точках

(6.9)

Функция ω(z) есть комплексный потенциал обтекания неподвижного контура l в плоскости z. Поэтому функция тока у) на контуре I постоянна. Контуру I соответствует окружность l в плоскости следовательно, в силу (7.9) на l функция Ѱ(ζ,η) будет также постоянна, т. е. окружность есть линия тока течения, комплексный потенциал которого W(ζ) Выясним условия на бесконечности для этого течения. Комплексная скорость

(6.10)

В плоскости z в бесконечно далекой точке скорость известна.

По построению функции (6.5) производная в бесконечности положительна:

Следовательно,

(6.11)

Таким образом, W(ζ) определяет в плоскости ζ течение вне круга, причем скорость потока на бесконечности равна k . Но комплексный потенциал обтекания кругового цилиндра известен, он имеет вид

(6.12)

Заменяя ζ в (6.12) на F(z), получаем

(6.13)

Формула (6.13) дает решение задачи об обтекании произвольного контура потенциальным потоком, если известно конформное отображение области вне l на внешность круга, т. е. если известна функция ζ = F(z). Величина k находится по формуле

В решении (6.13) циркуляция Г остается не определенной.