Задачи, решаемые на плоскости функции комплексного переменного.

Функция называется аналитической в некоторой области , если она дифференцируема в этой области, а ее производная непрерывна. Из определения и свойств производных, рассмотренных выше, следует, что необходимым и достаточным условием аналитичности функции является непрерывность частных производных функций и , которые также должны подчиняться условиям Коши-Римана

(4.1)

Из определения следуют свойства аналитических функций, которые часто полезно использовать при решении задач:

если функция является аналитической в области , то она непрерывна в этой области;

если и - аналитические функции в области , то их сумма и произведение также являются аналитическими в области , а функция является аналитической всюду, где ;

если является аналитической в области комплексной плоскости , а в области ее значений определена аналитическая функция , то функция является аналитической функцией в области ;

если является аналитической функцией в области и в окрестности некоторой точки , то в окрестности точки области значений определена обратная функция комплексной переменной , , которая является аналитической и имеет место формула

Пример 1. Найти постоянные , при которых функция будет аналитической, и вычислить производную :

1. ;
2.

Решение. Значения постоянных можно найти из требования выполнения условий Коши-Римана.

1. Так как , , то вычисляя призводные в (4.1), получим

(4.2)

Таким образом, остается одна произвольная константа (или ) и при условии (2) аналитическая функция запишется в виде:

Производную можно найти, пользуясь формулами:

(4.3)

2. Аналогично, вычисляя частные производные функций и сравнивая результаты, получим

и, так как функции и являются линейно независимыми, то

Подставляя полученные значения постоянных в определение функции и используя формулу Эйлера, имеем

Рассмотренные примеры являются частными случаями общего свойства, согласно которому правила дифференцирования функций действительной переменной являются справедливыми и для аналитических функций.

Пример 2. Показать, что функции, определенные соотношениями:

1) 2)

являются аналитическими на всей комплексной плоскости, и вычислить их производные.

Решение. В примере 1)

показано, что функция является аналитической, тогда на основании свойств аналитических функций (сумма и частное), перечисленных выше, сразу можно получить утверждение задачи, и, пользуясь эквивалентностью правил дифференцирования аналитических функций, получить выражения для производных в следующем виде:

Кроме того, прямым вычислением можно получить следующее тождество для функций и :

Таким образом , подчиняются известным свойствам тригонометрических функций, а для просто совпадают с ними: , . Поэтому естественным будет сохранить и для функций комплексной переменной те же обозначения и, таким образом, расширить определение тригонометрических функций на множество комплексных чисел: