Представление об источниках и стоках на плоскости и в пространстве
Назовем точечным стоком на плоскости точку, поглощающую жидкость. Сток можно рассматривать как гидродинамически совершенную скважину бесконечно малого радиуса в пласте единичной толщины. На плоскости вокруг точечного стока будет радиальная картина движения. Точечный источник - это точка, выделяющая жидкость (модель нагнетательной скважины). Определим потенциал течения как функцию, производная которой с обратным знаком вдоль линии тока равна скорости фильтрации, т. е.
(2.1)
Из сравнения (2.1) с законом Дарси:
видно, что потенциал для несжимаемой жидкости связан с давлением формулой
(2.2)
Найдем потенциал точечного стока на плоскости. Так как точечный сток является моделью добывающей скважины и течение вокруг него плоскорадиальное, то можно воспользоваться формулой объемной скорости , то
(2.3)
где - дебит скважины-стока, приходящийся на единицу толщины пласта.
Но для плоскорадиального потока:
Откуда
Проинтегрировав получим выражение потенциала для точечного стока на плоскости:
(2.4)
где С - постоянная интегрирования.
Таким образом, потенциал в окрестности скважины-стока пропорционален логарифму расстояния г от стока (центра скважины). При r = 0 и r= , то функция ln r обращается в бесконечность, поэтому потенциал в этих точках теряет смысл.
Для точечного источника справедливы все приведенные формулы, но дебит q считается отрицательным (q < 0).
Из формулы (2.4) следует, что линиями равного потенциала (эквипотенциалами) являются окружности r = const.
Найдем теперь потенциал точечного стока в пространстве. Движение вблизи такого стока будет радиально-сферическим. Поэтому скорость фильтрации
Откуда
и потенциал точечного стока в пространстве будет иметь вид:
(2.5)
Для потенциала точечного источника знак дебита в формуле (2.5) меняется на противоположный.
Как следует из формулы (2.5), потенциал точечного стока в пространстве обращается в бесконечность при r = 0, а при r = остается конечным (и равным С).
Распределение давления и потенциала в установившихся потоках несжимаемой жидкости описывается уравнением Лапласа, которое для плоских течений имеет вид
(2.6)
Поскольку уравнение Лапласа линейное и однородное, его решения обладают следующими свойствами: сумма частных решений есть также решение этого уравнения; произведение частного решения на произвольную постоянную есть также решение этого уравнения. На основании этих свойств в подземной гидромеханике разработан метод решения сложных задач, названный методом суперпозиции (методом наложения решений).
Математический смысл метода суперпозиции заключается в том, что если имеется несколько фильтрационных потоков с потенциалами Ф1(х,у), Ф2(х, у},...,Фn(х, у), каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е.
. i =1,2,…,n
то и сумма (где Сi - произвольные постоянные) также удовлетворяет уравнению Лапласа:
Гидродинамический смысл метода суперпозиции состоит в том, что изменение пластового давления и потенциала в любой точке пласта, вызванное работой каждой скважины (нагнетательной или добывающей), подсчитывается так, как если бы данная скважина работала в пласте одна, совершенно независимо от других скважин, затем эти независимо определенные для каждой скважины изменения давления и потенциала в каждой точке пласта алгебраически суммируются.
Суммарная скорость фильтрации находится как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины, по правилам сложения векторов.
Пусть на неограниченной плоскости расположено и источников и стоков (рис. 1, а). Потенциал каждого из них в точке М определяется по формуле (2.4):
, , ….,
где r1, r2,... rn - расстояния от первого, второго, ... n-то стоков до точки М; С1, С2,..., Cn - постоянные.
Каждая из функций Ф1, Ф2,..., Фn удовлетворяет уравнению Лапласа.
Дата добавления: 2015-02-10; просмотров: 3125;