Отображение p-плоскости на z- плоскость

Используя взаимосвязь между комплексными переменными и (1.24), рассмотрим отображение на z-плоскость:

- характерных точек p-плоскости;

- отрезков мнимой оси jw и всей оси jw p-плоскости;

- коридоров в левой и правой p-полуплоскостях.

1. Начало координат p-плоскости – точка с координатами (s = 0; w = 0) отображается в точку z-плоскости с координатами (x = 0; h = 0); в полярных координатах (r = 1; j = 0), (рис. 1.11, табл.1.3):

.

Рис. 1.11. Отображение точек p-плоскости на z-плоскость

2. Точка p-плоскости с координатами (s = –¥; w = 0) соответствует началу координат z-плоскости – точке с координатами (x = 0; h = 0):

.

3. Точка p-плоскости на оси частот jw с координатами (s = 0; w = p / 2T) отображается в точку z-плоскости с координатами (x = 0; h = 1); в полярных координатах (r = 1; j = p/2), (рис. 1.11, табл.1.3):

.

4. Точка p-плоскости на оси jw с координатами (s = 0;
w = –p / 2T) отображается в точку z-плоскости с координатами (x = 0; h = –1); в полярных координатах (r = 1; j = –p/2), (рис. 1.11, табл.1.3):

.

5. Две точки p-плоскости на оси jw с координатами (s = 0; w = ±p / 2T) отображаются в одну точку z-плоскости с координатами (x = –1; h = 0); в полярных координатах (r = 1; j = ±p), (рис. 1.11, табл.1.3):

.

6. Отрезок оси частот jw p-плоскости

;

на z-плоскости отображается в окружность единичного радиуса (единичную окружность):

;

; ;

радиус-вектор совершает один полный оборот против часовой стрелки, начиная с точки , т. е. угол j на z-плоскости ограничен областью главных значений.

Несложно показать, что при движении точки с начальными координатами (s = 0; w = p / T) вдоль оси jw вверх частотный интервал отображается на z-плоскости в k совпадающих единичных окружностей :

p < w ≤ (p + 2pk) Þ D = 2pk, k = 1, 2, …

Аналогично, при движении точки с начальными координатами (s = 0; w = –p / T) вдоль оси jw вниз частотный интервал также отображается на z-плоскости в k совпадающих единичных окружностей :

–(p + 2pk) < w ≤ –p Þ D = 2pk, k = 1, 2, …

Таким образом, мнимая ось jw отображается в бесчисленное множество совпадающих единичных окружностей, вследствие чего возникает неоднозначность отображения точек p-плоскости на z-плоскость.

Для их взаимно однозначного отображения ограниваются частотным диапазоном

® ,

в результате чего p-плоскость ограничивается «коридором» между двумя линиями, параллельными оси абсцисс и пересекающими ось ординат jw в точках (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Соответствие p- и z- плоскостей
при их взаимно однозначном отображении

7. Коридор в левой p-полуплоскости

; ®

на z-плоскости отображается в круг единичного радиуса (единичный круг) (рис. 1.13, табл.1.3

;

; ® .

Рис. 1.13. Отображение «коридора» в левой p-полуплоскости на z-плоскость

8. Коридор в правой p-полуплоскости

; ®

на z-плоскости отображается в область вне единичного круга (рис. 1.14, табл.1.3):

;

; ® .

Рис. 1.14. Отображение «коридора» в правой p-полуплоскости на z-плоскость

Таблица 1.3