Z-преобразование

В данном разделе приводятся необходимые для дальнейшего рассмотрения сведения о математическом аппарате Z-преобра­зования. Более подробная информация содержится в [1].

Z-преобразованием (прямым) последовательности называют следующий ряд

, (1.22)

где – оригинал – вещественная или комплексная последовательность, для которой выполняется условие (1.9);

– z-изображение последовательности , результат Z-преобразования.

Z-преобразование однозначно связано с последовательностью и справедливо только в области абсолютной сходимости ряда

. (1.23)

Z-преобразование (1.22) получено на основе известного дискретного преобразования Лапласа

в результате замены переменных

, (1.24)

где p – оператор Лапласа

. (1.25)

Определим взаимосвязь между комплексными p- и z-плоско­стями.

Подставляя p (1.25) в (1.24), получаем

, (1.26)

после чего, раскрывая по формуле Эйлера

,

имеем вещественную x и мнимую части комплексной переменной z (рис. 1.10):

; (1.27)

. (1.28)

Комплексная переменная z может быть представлена в двух формах:

- алгебраической

; (1.29)

- показательной

, (1.30)

где радиус является модулем, а угол j – аргументом переменной z (1.29):

; (1.31)

. (1.32)

Рис. 1.10. Комплексные p- и z-плоскости

Соответственно, положение произвольной точки на комплексной z-плоскости может указываться:

- координатами (x;h) – в декартовой системе координат;

- полярными координатами (радиусом r и углом j) – в полярной системе координат.

Сопоставляя соотношения (1.26) и (1.30), выразим значения радиуса r и угла j через s и w соответственно:

; (1.33)

. (1.34)

Равенство (1.34) указывает на то, что угол j точки на комплексной z-плоскости есть не что иное, как нормированная частота (1.8), измеряемая в радианах.

В силу периодичности экспоненты угол j (1.34) комплексной переменной z определяется с точностью до слагаемого 2pk, где k – любое целое число:

,

однако, как правило, по умолчанию речь идет о главном значении аргумента из диапазона

.