Передаточная функция и временные характеристики звеньев

Основной характеристикой звена САУ является его дифференциальное уравнение. Однако наряду с ним в теории управления нашли применение и другие характеристики. Важнейшей из них является передаточная функция, получаемая на основе применения преобразования Лапласа к исходному дифференциальному уравнению звена. Прямое и обратное преобразования Лапласа определяются следующими выражениями: ; , где y(t) – оригинал; Y(s) – изображение функции y(t); s – комплексная переменная; и – символы прямого и обратного преобразования Лапласа.

Наиболее важные свойства преобразования Лапласа, а также соответствие между рядом оригиналов и изображений приведены в приложении.

Если в дифференциальном уравнении звена (2.1)положить , то после применения прямого преобразования Лапласа получим алгебраическое уравнение относительно изображений:
, откуда

. (2.7)

Пepeдаточная функция звена W(s) есть отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных
условиях.

Если взять дифференциальное уравнение звена в операторной форме (2.3), то формально W(s) получим делением оператора B(p) на оператор A(p) с заменой p на s: .

Из (2.7) следует связь изображений входа и выхода через передаточную функцию:

. (2.8)

Звено САУ на структурных схемах изображают так, как показано на рис. 2.3.

Рис. 2.3

При использовании уравнения (2.2)передаточную функцию звена будем записывать в виде

, (2.9)

где N(s) и L(s) – многочлены с единичными коэффициентами в младших
членах.

Полином L(s) будем называть xapактepистичecким полиномом, а уравнение – характеристическим уравнением звена.

Следующий класс характеристик звена – это временные характеристики: весовая и переходная функции звена.

Если рассматривать W(s) как изображение, то приходим к понятию весовой (импульсной) функции звeнa w(t), формально определяемой как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции

. (2.10)

Вeсовая функция звена w(t) ecть реакция звена на входной сигнал в виде дельта-функции, которая определяется соотношением

,причем

Дельта-функция обладает фильтрующим свойством: .

Если положить , то и , откуда , т.е. – реакция звена на входной сигнал .

К такому же результату можно прийти следующим образом. Правой части (2.8) соответствует в области оригиналов свертка функций и :

. (2.11)

Если в (2.11) положить ,то на основании фильтрующего свойства дельта-функции будем иметь .

Пepexодной функциeй звена называется реакция звена на единичное ступенчатое воздействие

Так как , то и по определению

. (2.12)

Так как , тo , а .

Пример 2.3. Дифференциальное уравнение двигателя постоянного тока (пример 2.1) по углу поворота в предположении, что , можно записать в виде , где принято .

Передаточная функция и временные характеристики будут иметь вид

, ,

.