Примеры и их решение

Пример 1. По известным напряжениям вычислить деформации в за-данной точке А.

По формуле (2.29) находим σ_0,а по формуле (2.28) – ₀и подстав-ляем в формулы (2.32). Значение _і определяем, используя эксперимен-тальную диаграмму зависимости σ_і от _і (рис.2.13), предварительно вы-числив σ_і по формуле (2.19). Полученные данные подставляем в зависи-мости (2.32) и определяем _х, _в , _z, γ_ху, γ_{yz ,}γ_zx.

Пример 2. Стержень длиной 25см и диаметром 0,3 см растягивается нагрузкой 5000Н. Диаметр стержня уменьшился до 0,25 см. Определить действительные напряжения и деформации, условные напряжения и деформации, условные и действительные сужения.

Из зависимости определяем конечную длину стерж-ня:

= .

Действительные напряжения и деформации при заданной нагрузке будут соответственно равны:

σ_д = Р/F₁ = МПа,

Условные напряжения и деформации при заданной нагрузке будут равны:

Относительное (условное) и действительное сужения при заданной нагрузке равны:

= 30,6%,

То есть,

Пример 3. Образец испытывается на ползучесть и нагружен силой 6000 Н. Исходная длина круглого стержня составляла 300 мм, а началь-ный диаметр – 5 мм. После испытаний длина образца составила 350 мм. Определить действительные напряжения и деформации; условные напря-жения и деформации, относительное и действительное удлинения.

Находим диаметр стержня после испытаний:

;

Действительные напряжения и деформации при заданной нагрузке будут соответственно равны:

МПа,

Условные напряжения и деформации при заданной нагрузке будут соответственно равны:

Относительное (условное) и действительное сужения равняются:

Проверка:

Пример 4. На гранях элемента (рис. 2.15), вырезанного из цилин-дрической стенки резервуара, действуют напряжения ₁=150 МПа, ₂=75МПа, ₃=0. Резервуар изготовлен из малоуглеродистой стали марки Ст.3. Допускаемое напряжение на растяжение =160 МПа. Необходимо проверить прочность стенки.

Рисунок 2.15

Так как материал находится в пластическом состоянии, то расчеты необходимо выполнять по 4 – й или 3 – й теории прочности.

Условие прочности по 4 –й теории при ₃=0 имеет вид

_экв = .

Подставляя в выражение значения ₁ и ₂, находим:

_экв = =129,9МПа < 160 МПа.

С учетом 3 - й теории прочности имеем:

_экв = ₁ - ₃ ,

или _экв =150 – 0 = 150 160 МПа.

Таким образом, прочность стенки обеспечена.

Пример 5. По граням элемента вследствие нагрузки действуют напряжения: σ₁ = 350 МПа, σ₂ = 200 МПа, σ₃ = 150 МПа. Принимая значе-ние модуля упругости Е=206·10³МПа и коэффициента Пуассона μ = 0,3, определить эквивалентные напряжения при одноосном, двухосном и трехосном действии напряжений и деформаций при трехосном действии напряжений.

В общем виде эквивалентные напряжения и деформации определя-ются формулами:

σ_і =

_і= .

При объемном (трехосном) нагружении

При двухосном нагружении (σ₂ = 0; σ₃ = σ₁ = 350 МПа)

σ_і= .

При одноосном нагружении (σ₂ = 0, σ₃ = 0):

σ_і= .

Обобщенный закон Гука для трехосного напряженного состояния имеет вид:

₁=

₂ =

₃= ;

₁ =

₂ =

₃ =

Эквивалентная деформация

= =0,00076.

Объемная деформация

_v =

_v= ₁+ ₂ + ₃= .

Пример 6 . Брус плотно вставлен между двумя неподвижными стенками и подлежит сжатию равномерно распределенным по горизонта-льным граням силой Р (рис. 2.16).

Рисунок 2.16

Пренебрегая трением между брусом и стенками, найти усилие давления на его стенки и изменение его размеров при Р = 10000 Н,

Е = 2 Н/см²; = 50 см; b = 25 см; h = 10 см.

Напряжения давления, возникающие в продольном направлении, яв-ляются следствием действия вертикальной нагрузки, так как брус не может перемещаться в горизонтальном направлении (препятствуют недвижные стенки). Тогда имеем:

σ₁ = 0; σ₂ = - N / вh; σ₃ = -Р/ в .

Через N обозначим давление стенок на брус. Так как в условиях при-мера размер не изменяется, то ₂ = 0. Из формулы