Напряжения в точке тела

Напряжения являются следствием взаимодействия частичек тела при его нагружении. Внешние силы стараются изменить взаимное расположе-ние частичек, а возникающие при этом напряжения препятствуют смеще-нию частичек, ограничивая его преимущественно некоторой маленькой ве-личиной.

В соответствии с гипотезой о сплошности материала считают, что каждую частичку тела в сколь угодно маленьком пространстве во всех нап-равлениях окружает великое множество других частичек. Находящаяся в данной точке частичка по-разному взаимодействует с каждой из соседних частичек. Поэтому в одной и той же точке в разных направлениях напря-жения будут разные и очень редко, когда они одинаковы по всем направ-лениям.

Из курса “Сопротивление материалов” известно, что девять ком-понентов напряжения в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, про-ходящих через рассматриваемую точку тела, полностью определяют нап- ряженное состояние в этой точке (тензор напряжений).

σ_х τ _ух τ_zx

τ _ху σ_в τ _zу

τ _хz τ _уz σ _z.

В первой, второй и третьей строках расположены составляющие нап-ряжений соответственно на плоскостях, перпендикулярных к осям Х,Y, Z.

Обычно для изображения напряженного состояния в точке тела в ок-рестности последней выделяют элемент объема в виде прямоугольного параллелепипеда, три ребра которого принимаются за оси координат (рис.2.10).

Рисунок 2.10 – Вид прямоугольного параллелепипеда и действующих

на его гранях напряжений

Нормальные напряжения обозначаются σ с индексом, который отве-чает направлению нормали к плоскости, на которой они действуют. Каса-тельные напряжения обозначаются τ с двумя индексами: первый соответс-твует направлению нормали к плоскости, а второй – направлению самого напряжения. Например, на плоскости, перпендикулярной к оси X, действу- ют напряжения σ_x, τ_xy, τ_xz и т.д. Касательные напряжения считаются поло-

жительными, если они направлены в сторону соответствующих положите -льных направлений координатных осей. Если внешняя нормаль к плоскос-ти совпадает с отрицательным направлением координатной оси, то все три составляющих напряжения на площадке считаются положительными, если они направлены в сторону отрицательных направлений соответствующих координатных осей.

При неодноосном напряженном состоянии в каждой точке тела имеются напряжения: σ_х, σ_y, σ_z , τ_ху, τ_УZ, τ_ZХ и деформации: _х, _y, _z, γ_ху, γ_zx , γ_zx.

Характеристиками напряженного и деформированного состояния яв-ляются σ_і – интенсивность напряжений, _і - интенсивность деформаций, которые определяются по формулам:

σ_і ; (2.19)

_і . (2.20)

В каждой точке тела существуют по крайней мере три взаимно пер-пендикулярных плоскости, в которых касательные напряжения равны ну-лю. Эти плоскости называються главными, а нормальные напряжения и де-формации в них – главными нормальными напряжениями и деформация-ми:

σ_і ; (2.21)

_і. (2.22)

Главные напряжения σ₁ , σ₂ и σ₃ располагаются в таком порядке:

σ₁ > σ₂ > σ_3.