Методы решения матричных игр в смешанных стратегиях.

В этой лекции рассматриваются матричные игры, не имеющие седловых точек.

Игры.

Рассмотрим игру с платежной матрицей

Пусть игрок A применяет набор своих оптимальных стратегий . По основной теореме теории игр это обеспечивает ему выигрыш при любых стратегиях игрока В, т.е. выполняются соотношения:

(62)

Дополняя их уравнением

(63)

получим систему линейных уравнений относительно и . Решая ее найдем

, , , (64)

где .

Повторяя те же рассуждения для игрока В, получим систему линейных уравнений

(65)

Ее решениями будут

, , , (66)

Пример.Молокозавод поставляет в магазин молочную продукцию ( ) и кисломолочную продукцию ( ). Согласно договора между ними продукция поступает в магазин два раза в день: с 10.00 до 11.00 (1-ый срок) и с 17.00 до 18.00 (2-ой срок). Если молокозавод соблюдает сроки поставок, то магазин выплачивает премии по следующей схеме: при поставке продукции в первый срок выплачивает 5 тыс. руб., во второй срок – 3 тыс. руб.; при поставке продукции в первый срок выплачивает 2 тыс. руб., во второй срок – 3 тыс. руб. Определить оптимальные стратегии поставок и получения продукции.

Решение. Примем молокозавод за игрока А, а магазин – за игрока В. Составим платежную матрицу игры:

Сроки Продукция	1-ый срок	2-ой срок

или

Найдем

,

, седловой точки нет. Применим формулы (63) – (65) для определения оптимальных стратегий и цены игры:

, , , ,

, ,

Оптимальные стратегии: , , цена игры .

Таким образом, молокозавод поставляет молочную продукцию с вероятностью , а кисломолочную продукцию – с вероятностью , а магазин получает продукцию в 1-ый срок с вероятностью , а во 2-ой срок – с вероятностью и выплачивает 2,6 тыс. руб. премии молокозаводу ежедневно.

Матричная игра допускает простую геометрическую интерпретацию.

Нахождение цены игры и оптимальной стратегии для игрока А равносильно решению уравнения:

(66)

Для нахождения правой части (66) применим графический метод.

Пусть игрок А выбрал смешанную стратегию , , а игрок В – k-ую чистую стратегию, . Тогда средний выигрыш игрока А окажется равным

при стратегии (67)

при стратегии (68)

Очевидно, , которую называют нижней огибающей прямых I и II.

Нетрудно видеть, что

Таким образом, верхняя точка нижней огибающей – определяет оптимальную стратегию игрока А: и цену игры .

Проиллюстрируем описанный графичексий метод на рассмотренной выше игре с платежной матрицей .

На плоскости pOz построим две прямые, описываемые уравнениями: и или (I) и (II).

Решая систему уравнений

найдем , , .

Таким образом, имеем полученный выше ответ игры: и .

Теперь покажем как графическим методом найти стратегии игрока В.

(69)

Пусть игрок В выбрал смешанную стратегию , , а игрок А – i-ую чистую стратегию, . Тогда средний выигрыш игрока В окажется равным

при стратегии (70)

при стратегии (71)

Очевидно, , которую называют верхней огибающей прямых III и IV.

Нетрудно видеть, что

Таким образом, нижняя точка верхней огибающей – определяет оптимальную стратегию игрока В: и цену игры .

Для рассмотренной выше гры с матрицей H найдем стратегии игрока В.

На плоскости qOz построим две прямые, описываемые уравнениями: и или (III) и (IV).

Решая систему уравнений

найдем , , .

Таким образом, имеем и .

Замечания. На практике оптимальную стратегию игрока В, если оптимальная стратегия игрока А, следовательно, и цена игры известны, находят приравниванием любого из двух средних выйгрышей игрока В к цене игры:

или .

Для рассмотренного примера такими уравнениями будут

или

Аналогично находят оптимальную стратегию игрока А, если известна оптимальная стратегия игрока В.