и – игры.

Решают такие игры графическим способом, описанным выше. Отличие от – игр заключается в следующем.

4) Нижняя (верхняя) огибающая семейства прямых

содержит большее число отрезков.

5) Пусть в игре в верхней точке нижней огибающей пересекаются прямые и . Тогда при нахождении оптимальной смешанной стратегии игрока В полагают, что , , , , где q – решение уравнения

или

6) Пусть в игре в нижней точке верхней огибающей пересекаются прямые и . Тогда при нахождении оптимальной смешанной стратегии игрока А полагают, что , , , , где p – решение уравнения

или .

Игры.

При решении таких игр рекомендуется предварительно уменьшить размеры платежной матрицы или упростить ее в некотором смысле. С этой целью применяют следующие правила.

 

Правило доминировнаия.

Из платежной матрицы исключают чистые стратегии заведомо невыгодные по сравнению с другими:

а) для игрока А такими стратегиями являются те, которым соответствуют строки с элементами не большими по сравнению с элементами других строк;

б) для игрока В такими стратегиями являются те, которым соответствуют столбцы с элементами не меньшими по сравнению с элементами других столбцов.

Например, рассмотрим игру с матрицей

 

 

Сравнивая строки, убеждаемся, что элементы 2-ой строки не больше соответствующих элементов 1-ой строки, а 3-ья строка совпадает с 4-ой. Следовательно, стратегии и невыгодные и могут быть отброшены. Матрица игры преобразуется к матрице

 

 

Сравнивая столбцы полученной матрицы, убеждаемся, что элементы 2-го столбца не меньше соответствующих элементов 1-го столбца, а элементы 3-го столбца не меньше соответствующих элементов 4-го столбца, т.е. стратегии и также могут быть отброшены. Окончательно усеченная матрица игры имеет вид

 

.

 

Таким образом, оптимальными стратегиями игроков А и В игры с матрицей Н будут и , где и – оптимальные стратегии игры с матрицей .

 

Аффинное правило.

Пусть и – оптимальные смешанные стратегии игроков А и В в игре с платежной матрицей и ценой . Тогда и будут оптимальными стратегиями и в игре с матрицей и ценой .

Например, игру с матрицей можно заменить игрой с матрицей , т.к. элементы этих матриц связаны соотношениями : ; ; ; ; ; . При этом оптимальные стратегии игр совпадают, а цены игр связаны соотношением .

В общем случае решение игр размера в смешанных стратегиях сводят к решению двух возможно двойственных ЗЛП.

Редукция матричных игр к ЗЛП.

Пусть игра задана платежной матрицей . Через и обозначим соответственно оптимальные стратегии игроков А и В. Пусть – цена игры. Не умаляя общности, полагаем . В противном случае с помощью аффинного правила добьемся того, что все .

Оптимальная стратегия стратегия игрока А обеспечивает ему средний выигрыш, не меньший , при любой стратегии игрока В. Поэтому все средние выигрыши игрока А можно выписать в виде системы неравенств:

 

(72)

 

Введем новые переменные:

 

(73)

 

Тогда после деления каждого неравенства из (71) на получим новую систему неравенств

 

(73)

 

Из равенства

нетрудно получить соотношение для :

.

Игрок А стремится максимизировать свой гарантированный выигрыш . Максимизация равносильна минимизации . Следовательно, получили следующую задачу для нахождения оптимальной стратегии игрока А:

 

(74)

 

при условиях (73) и

 

(75)

 

Сформулированная задача (74) – (76) является ЗЛП.

Повторим с естественными изменениями предыдущие рассуждения для определения оптимальной стратегии игрока В.

Игрок В стремиться минимизировать гарантированный проигрыш . Все средние проигрыши игрока В запишем в виде системы неравенст:

 

, (76)

 

которые следуют из того, что средний проигрыш игрока В не превосходит цены игры при любой стратегии игрока А.

В обозначениях

 

система неравенств (76) примет вид

 

(77)

 

Применение удовлетворяют соотношению

.

Минимизация равносильна максимизации .

Получили следующую задачу для нахождения оптимальной стратегии игрока В:

 

(78)

 

при условиях (77) и

 

(79)

 

Задача (77) – (79) также является ЗЛП.

Таким образом, игра свелась к двум ЗЛП, которые запишем в матричном виде

 

 

, , ,

 

Очевидно, задачи I и II являются двойственными ЗЛП.

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

1. А.В. Соколов, В.В. Токарев. Методы оптимальных решений. Т.1. Общие положения. Математическое программирование. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010.

2. А.В. Соколов, В.В. Токарев. Методы оптимальных решений. Т.2. Многокритериальность. Динамика. Неопределенность. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010.

3. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. СПб.: Питер, 2000.

4. М. Интрилигатор. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Изд. Айрис-Пресс, 2002.

5. Ф.П. Васильев. Методы оптимизации. М. Факториал Пресс, 2005.

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

Введение ……………………………………………………………………..
  ЛЕКЦИЯ 1. Исследование операций. Экономико-математические модели. ……………………………………………………………………….      
ЛЕКЦИЯ 2. Балансовые модели. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Продуктивные модели………………………………………….    
ЛЕКЦИЯ 3,4,5. Задачи математического и линейного программирования. Модели линейного программирования……………...    
ЛЕКЦИЯ 6. Динамическое программирование. Принцип оптимальности и функциональности. Функциональное уравнение Беллмана…………….    
ЛЕКЦИЯ 7. Модели потребительского выбора. Функция полезности. Линии безразличия. Оптимизация функции полезности. Функции спроса и предложения……………………………………………………….      
ЛЕКЦИЯ 8. Элементы теории игр в задачах оптимального управления экономическими процессами……………………………………………….    
ЛЕКЦИЯ 9. Методы решения матричных игр в смешанных стратегиях...  
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………  

 

 

Учебное издание

Г. Н. Камышова,

Н. Н. Терехова

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Краткий курс лекций

 

Издается в авторской редакции

 

 

Корректура авторов

 








Дата добавления: 2015-02-03; просмотров: 760;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.04 сек.