Закон Паскаля

Основной задачей гидростатики является изучение законов распре­деления истинных давлений в покоящейся жидкости, а также вы­числение их суммарного эффекта при воздействии жидкости на по­груженные тела, а также на стенки сосудов.

Теорема: величина истинного гидростатического давления в каждой точке покоящейся жидкости не зависит от расположения плоской площадки, проходящей через эту точку и включающей ее в себя.

Пусть внутри покоящейся жидкости нами рассматривается истин­ное давление в точке а (рис.2.5 а, стр. 64).

а) б)

Рис. 2.5. Давление в точке а.

Через эту точку можно провести бесчисленное множество плоскостей и в каждой из них построить элемент, включающий в себя точку а. Тогда величина истин­ного давления может быть определена, с одной стороны, как

,

с другой стороны, как

.

Необходимо доказать, что независимо от расположения плоскостей:

.

Для доказательства этой теоремы выделим внутри покоящейся жидкости тетраэдр (рис.2.5 б). Построение тетраэдра выполним следующим, образом. Пусть О - точка, относительно которой мы будем дока­зывать теорему. У точки О как у начала построим прямоугольную систему координат OXYZ.

На осях отложим отрезки Оа, Оb, Оc и через точки а, b, с проведем плоскость, секущую координатный трехгранник. Таким образом, около точки О построен тетраэдр Оаbс. Внутри тетраэдра так же, как и снаружи его, находится покоящаяся жидкость. Допустим, что жидкость внутри тетраэдра затвер­дела (не меняя при этом своего удельного веса). Равновесное состоя­ние в жидкости при этом не нарушится. Однако это допущение позволяет рассматривать тетраэдр как погруженное тело и вычислять давления, которые оказывает на него окружающая со всех сторон жидкость.

Обозначим силы давления на грани тетраэдра: Р_х, Р_у, P_z и Р_n. При этом сила Р_x представляет собой суммарный эффект давления жидкости на грань bОс и, будучи ей перпендикулярна, направлена парал­лельно оси ох. Точно так же сила Р_у, результирующая давления жидкости на грань aOc, будет перпендикулярна этой грани и па­раллельна оси ОY. Сила Р_z аналогично выражает действие жид­кости на грань аOb и параллельна оси OZ. Сила Р_n выражает суммарное давление на наклонную грань аbс и параллельна направ­лению внутренней нормали к плоскости этой грани NO.

Обозначим, кроме того, через средние гидро­статические давления на соответствующие грани тетраэдра, а именно;

,

тогда

(2.9)

Несомненно, что силы Р_x, Р_y, Р_z и Р_n пропорциональны размерам поверхности тетраэдра, т. е. величинам L².

На рассматриваемый тетраэдр действует, кроме этих четырех поверхностных сил, еще одна объемная сила - сила тяжести. Она будет пропорциональна объему тетраэдра, т. е. величинам L³.

При переходе к пределу, т.е. при безграничном уменьшении размеров тетраэдра, поверхностные силы будут величинами второго порядка малости, в то время как сила тяжести будет величиной третьего порядка малости. Имея это в виду, мы исключаем эту силу из рассмотрения, и равновесие тетраэдра рассматриваем под действием лишь четырех поверхностных сил.

Из статики твердого тела известно, что если тело находится в равновесии, то алгебраическая сумма проекций всех действующих на него сил на любую координатную ось равна нулю. Для простран­ственной системы сил таких уравнений можно написать три. Спро­ектируем силы, действующие на тетраэдр, на три оси координат и каждую такую сумму приравняем нулю:

(2.10)

Принимая во внимание соотношения (1), напишем

(2.11)

В то же время известно, что проекция любой плоской фигуры на другую плоскость равна площади проектируемой фигуры, умно­женной на косинус угла, образуемого перпендикулярами к этим двум плоскостям; следовательно:

Имея это в виду, уравнения (2.11) после сокращений можно написать следующим образом:

откуда

(2.12)

Это уравнение тем более справедливо, чем меньше размеры тетра­эдра (так как тем законнее исключать из рассмотрения объемную силу - вес тетраэдра). Поэтому выражение

p_х = p_у = p_z = p_n, (2.13)

связывающее истинные гидростатические давления в точке О по­ четырем произвольным направлениям, является вполне точным - теорема доказана.

На основе доказанной теоремы можно установить законы распре­деления давлений внутри покоящейся жидкости.

Докажем, что если жидкость находится в равновесии и испытывает только действие силы тяжести, то давление изменяется только с глу­биной. Во всех точках жидкости, лежащих в одной и той же гори­зонтальной плоскости, давления будут одинаковы.

Для доказательства этих положений выделим внутри покоящейся жидкости прямоугольный параллелепипед (рис. 2.5, стр. 64). Оси координат расположим так, чтобы плоскость XOY совпадала с какой-нибудь горизонтальной плоскостью, а ось OZ была направлена по вертикали вверх. Ребра параллелепипеда пусть будут параллельны осям коор­динат.

Подобно предыдущему допустим, что жидкость, находящаяся внутри параллелепипеда, затвердела (не изменяя своего удельного веса). При этом равновесие внутри жидкости не нарушится.

Рассматриваемый па­раллелепипед находится под действием следующих сил:

а) сил поверхностных, находящихся в прямой зависимости от давлений, оказываемы на паралле­лепипед окружающей его со всех сторон жидко­стью; таких сил будет шесть (по числу граней параллелепипеда);

б) силы объемной­ – силы тяжести.

Так как силы, обра­зующие данную простран­ственную систему, про­ходят через одну точку, для их равновесия до­статочно написать три уравнения статики твердого тела. Проектируя все силы на три оси коор­динат, получим

(2.14)

Из первых двух уравнений следует, что силы , а также . Принимая во внимание также равенство площадей противо­положных граней параллелепипеда, мы найдем также, что , а это значит, что средние гидростатические давления на противоположных (вертикальных) гранях одинаковы и не зависят от расстояния между этими гранями. Таким образом, ни в направлении оси ОХ, ни в направлении оси ОY среднее (а тем самым и истинное) гидростатическое давление не меняется: давление во всех точках, лежащих в одной горизонтальной плоскости (плоскости, параллельной осям X и Y), одинаково.

Третье из уравнений (2.14) преобразуем, пользуясь следующими соотношениями:

Здесь первые два уравнения выражают силы через соответствен­ные средние гидростатические давления, а последнее - вес через объем параллелепипеда и удельный вес жидкости. Тогда

откуда после сокращений получим:

(7)

Из этого соотношения видно, что средние гидростатические давления на двух горизонтальных гранях параллелепипеда не одина­ковы. Несомненно, что если расстояние между этими гранями Δz мало, то мало будут различаться между собой и эти давления. Итак, пусть

Тогда

(2.15)

Это уравнение известно под на­званием основного уравнения гидростатики.

Так как для капельных жидкостей γ=const и если известно давление в какой-либо определенной точке покоящейся жидкости, то с помощью уравнения (2.15) можно найти давление и во всякой другой точке.

Рис.2.6. Распределение давления в покоящейся жидкости

Допустим, что в точке О (рис.2.6), имеющей вертикальную координату z_o. давление равно p_о, тогда в точке М, координата которой равна z, давление р определится из уравнения

здесь

Это уравнение можно представить и в следующем, наиболее часто встречающемся, виде:

,

. (2.16)

Из уравнения (2.16) следует, что избыточное давление на дно сосуда зависит только от высоты столба жидкости. Так, например, во всех сосудах, представленных на рисунке, давление на дно сосуда одинаково. Это явление называется гидростатическим парадоксом (рис. 2.7).

Рис.2.7. Гидростатический парадокс

Из этого же соотношения следует, что если в точке О давление увеличится на какую бы то ни было величину, то на такую же величину возрастет давление и во всякой другой точке М. В этом заклю­чается закон Паскаля.

Вертикальные координаты z_o и z, отсчитанные вверх от одной и той же

условной горизонтальной плоскости представляют собой нивелирные высоты. Как известно, при помощи геодезиче­ского инструмента - нивелира - измеряют относительные высоты различных объектов, отсчитывая их от одной и той же условной горизонтальной плоскости.

Так как вывод формулы (2.16) не ставится нигде в зависимость от формы сосуда, то очевидно, что закон Паскаля будет справедлив для любого случая абсолютного покоя однородной тяжелой несжи­маемой жидкости.

Основное уравнение гидростатики показывает, что давление на поверхности жидкости p₀ передается в любую точку внутри жидкости без изменения.

В связи с этим, учитывая второе свойство гидростатического давления, можно сформулировать закон Паскаля: давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жид­кости и по всем направлениям одинаково.