Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

(уравнения Эйлера)

Выделим в покоящейся жидкости элементарный объ­ем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребра­ми, параллельными осям координат и равными соответ­ственно dx, dy, dz (рис. 2.4, стр. 61).

Со стороны окружающей жидкости на выделенный параллелепипед действуют поверхностные силы, определяемые гидростатическим давлением, а также массовые силы, пропорциональные его массе.

Составим уравнение равновесия для этой системы сил в проекциях на координатную ось Ох. При этом бу­дем предполагать, что гидростатическое давление есть непрерывная функция координат пространства и что его значение в центре тяжести параллелепипеда (точка М) равно р. Тогда первое уравнение равновесия в проекци­ях на ось Ох запишется следующим образом:

(2.2)

где dP^’_x=P^’_xdydz – сила гидростатического давления на грань 1-2-3-4; dP^”_x =P^”_{x -} то же, на грань 5-6-7-8; - проекция элементарной массовой си­лы на ось Ох;P’x, и P”- среднее гидростатическое давление соот­ветственно на грани 1-2-3-4 и 5-6-7-8.

Рис. 2.4. Расчетная схема для составления уравнений равновесия жидкости

Так как гидростатическое давление является функ­цией координат, значения давлений P’_x и P^”_x будут:

Тогда уравнение (1.1) примет вид:

(2.3)

или

(2.3)

Разделив уравнение (1.16) на массу параллелепипеда, получим:

Проделав аналогичные операции с проекциями внеш­них сил на оси Оy и Оz, получим систему дифференци­альных уравнений равновесия жидкости:

(2.4)

Эта система уравнений была впервые получена в 1755 г. Эйлером.

Умножим каждое уравнение (2.4) соответственно на dx, dy и dz и сложим их:

(2.5)

Давление является функцией только трех независи­мых переменных координат х, у и z, поэтому левая частьуравнения (2.5) представляет собой полный диф­ференциал функции р=f(х, у, г).

Следовательно,

dp = p(Xdx+Ydy+Zdz). (2.6)

Уравнение (2.6) называется основным дифференци­альным уравнением равновесия жидкости. Отметим, что при выводе этого уравнения мы не вводили никаких до­полнительных ограничений на массовые силы и на плот­ность жидкости р, поэтому оно имеет общий характер к может быть использовано и для сжимаемой жидкости.

Левая часть уравнения (2.6) представляет собой полный дифференциал, следовательно, и правая его часть также должна быть полным дифференциалом. Если же принять плотность жидкости или газа постоян­ной или независимой от х, у и z, то выражение в скоб­ках также будет полным дифференциалом некоторой функции U = f(x,y,z),частные производные которой, взятые по х, у, z,равны проекциям ускорений массовых сил на соответствующие оси:

(2.7)

Величины X, У и Z можно рассматривать как проек­ции массовых сил, отнесенных к единице массы данной жидкости поэтому функцию U=f( х, у,z) называют потенциальной или силовой функцией, а силы, удовлет­воряющие условию (2.7), - силами, имеющими потен­циал. Таким образом, при рассмотрении уравнения (2.6) с учетом выражения (2.7) можно сделать важ­ный вывод: равновесие жидкости возможно только в том случае, когда массовые силы имеют потенциал.

Заметим далее, что в основном уравнении равновесия жидкости неизвестны только две величины ρ и р (значе­ния же проекций единичных массовых сил X, Y и Z, а также координаты точки предполагаются заданными). Следовательно, для получения однозначного решения уравнения (2.7) нужно воспользоваться так называе­мым характеристическим уравнением, которое определяло бы связь между физическими свойствами и состояни­ем рассматриваемой жидкости, например связь между плотностью жидкости, ее температурой и давлением.

Поверхность, в каждой точке которой значение дан­ной функции постоянно, называется поверхностью уров­ня. Физический смысл функции и ее значения могут быть различными (например, поверхность равной тем­пературы, равного давления и т. п.). В ме­ханике жидкости наибольший интерес представляет по­верхность равного давления, т. е. такая поверхность, в каждой точке которой давление имеет постоянное значе­ние.

Уравнение поверхности равного давления следует из основного уравнения равновесия жидкости. Так как для поверхности уровня р = const в любой ее точке, dр=0 и, следовательно, правая часть уравнения также равна нулю. Плотность жидкости отлична от нуля, поэтому выражение в скобках должно быть равным нулю, тогда уравнение поверхности уровня:

Xdx+Ydy+Zdz=0. (2.8)

Поверхность уровня (поверхность равного давления) обладает двумя основными свойства­ми:

1. Поверхности уровня не пересекаются между собой. Действительно, предположив обратное, мы получим в точках линии пересечения этих поверхностей давление, равное одновременно р₁ и р₂, что физически невозможно. Следовательно, невозможно и пересечение поверхностей уровня.

2. Внешние массовые силы направлены по внутрен­ней нормали к поверхности уровня.