Рівняння раціональної осі арки. Ядрові моменти

Ядровим моментом називається момент від усіх сил, узятих по одну сторону перетину, щодо крайньої точки ядра перетину.

При внецентровому стиску найбільша і найменша напруги виникають у крайніх точках поперечного перерізу і визначаються у виді

(4.15)

де А — площа поперечного перерізу; W — момент опору; N, M — повздовжня сила і згинальний момент у перетині відповідно.

При дії на арку рухомого навантаження для визначення найбільших нормальних напруг по формулі (4.15) одночасно доводиться завантажувати дві лінії впливу (N і M), що мають різні обриси, до того ж, одна з них — двохзначна. У зв'язку з цим вираз для доцільно перетворити так, щоб формула (4.15) стала одночленною. Для цього розкладемо рівнодіючу лівих сил , прикладену в точці r перетину n – m (мал.4.7), на складові N і Q.

Рис.4.7. До перетворення виразу для

В одній із крайніх точок ядра перетину, наприклад, у верхній точці , прикладемо дві взаємно врівноважують сили N. У результаті цього в перетині будуть прикладені три сили N, які можна звести до пари сил з моментом і подовжній силі N, що діє в крайній лівій ядровій точці. Тоді нормальна напруга в нижній точці m перетину визначається по формулі

(4.16)

тому що від сили N, прикладеної у верхній ядровій точці, нормальна напруга в нижній точці m перетину дорівнює нулеві.

Добуток являє собою момент повздовжньої сили, прикладеної в точці r, щодо верхньої ядрової точки і називається ядровим моментом.

Відмінність ядрового моменту від звичайного згинаючого полягає в тому, що при його обчисленні потрібно множити ліві (або праві) сили на відстань до однієї з ядрових точок, а не до центра тяжіння перетину.

Аналогічно, нормальна напруга в точці n перетину визначається по формулі

де — момент зовнішніх лівих (або правих) сил щодо точки К₂.

Ці формули є одночленними, що дозволяє більш просто вирішувати задачі, зв'язані з визначенням максимальних напруг у перетинах арки при дії на неї рухомого навантаження.

Раціональною віссю арки називається така вісь, при якій згинальний момент у всіх перетинах арки дорівнює нулеві.

Якщо вважати, що арка завантажена тільки вертикальними навантаженнями, то для цього необхідно і досить, щоб вертикальні ординати y усіх точок осі арки, відраховуванні від прямої (АВ), проведеної між опорами, були пропорційні відповідним ординатам «балкової» епюри моментів (мал.4.8), тобто в будь-якому перетині арки

де y — вертикальні ординати точок, що лежать на осі балки; k — постійний коефіцієнт пропорційності; — ординати «балкової» епюри моментів.

Рис.4.8. До визначення раціональної осі арки

У перетині D арки:

У шарнірі С:

Тому що те

отже,